Правила диференціювання

Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Періодичність функцій. Асимптоти графіка функції.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Асимптоти кривих

Нехай крива задана рівнянням, де є неперервною функцією на відрізку. Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику, де є найбільше значення функції на відрізку. Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії. Пряма лінія називається асимптотою кривої, якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність. Асимптоти розрізняють трьох типів: “горизонтальні” (паралельні осі); “вертикальні” (паралельні осі) і - “похилі”.

Застосування диференціалу функції в наближених обчисленнях.

Приріст функції і диференціал функції відрізняються один від одного на малу величину а-Ах. Якщо знехтувати цією малою величиною, то отримаємо наближену рівність

Ay=idy, тобто при малих приростах аргументу Лх приріст функції можна замінити її диференціалом.

Враховуючи, що Ay =Дх+Лх) —fix), отримаємоДх+Лх) - fix)&dy, звідки

fix+Ax)^x)+dy. Ці наближені рівності застосовуються для наближених обчислень, бо обчис-лення диференціалу функції значно простіше, ніж обчислення її приросту.

Приклад 4. Обчислити наближене значення приросту функції}>=х2+2х+5 при зміні арг’ментувідх=2 дох=2,001.

Розвязання: Знаходимо диференціал аргументу dx =Дх =2,001 - 2=0,001. Приріст аргумешу малий, тому приріст функції Ау наближено дорівнює його диференціалу dy.

Диференціал функції обчислюємо за формулою: dy=y'{x)dx. Спочатку знайде-мо похідну функції і її значення при х = 2.

у' = 2х+2,