Екстремум функції двох змінних. Стаціонарні точки

Екстремум – найбільше і найменше значення функції.

Необхідні умови екстремуму:

Якщо функція z= f(x;y) має в точці (x₀;y₀) локальний(місцевий) екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних х, та у = 0, або не існують. Точка з коефіцієнтом x₀,y₀ у якої частинні похідні по х= частинній похідній по у, і = 0.

F^/ х(x₀;y₀)= F^/ у(x₀;y₀)=0 назив. стаціонарною точкою функції двох змінних.

Стаціонарні точки, та точки в яких частинні похідні не існують, назив. Критичними точками.

Стаціонарна точка це такий аргумент функції при якому її похідна (градієнт для функції багатьох аргументів) дорівнює нулю: тобто функція "припиняє" спадати чи зростати.

Для графіка одновимірної функції, це відповідає точці, в якій дотична до графіка паралельна осі x. Для графіка двовимірної функції - дотична площина паралельна площині xy.

Умовний екстремум функції двох змінних.

Екстремум функції z=f(x; y) при виконанні умови G(x; y)=0назив. Умовним екстремумом. Тобто необхідно знайти екстремальні значення функції, якщо на незалежні змінні накладено додаткові обмеження.

Тобто, на відміну від звичайної точки екстремуму, значення функції в точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякого її околу, а тільки в тих, які лежать на лінії, рівнянням якої є умова зв'язку. Функція має в точці умовний максимум (мінімум), якщо для будь-якої точки за умови, що координати точок та задовольняють умови зв'язку.

Первісна. Невизначений інтеграл.

Інтегральне числення вирішує зворотну задачу: знайти F (x), знаючи її похідну f (x).

Функція F (x) називається первообразной, якщо виконується рівність F '(x) = f (x).

Якщо F (x) одна з первісних функції f (x), то будь-яка первообразная функції f (x) на цьому проміжку має вигляд F (x) + C, де С € R.

Безліч всіх первісних функції f (x) називається невизначеним інтегралом

Властивості:

- Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожного доданку окремо;

- Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла.