Монотонды тізбектер

Анықтама. Егер әрбір n (n= 1, 2,...) үшін болса, онда {х_n} тізбегін өспелі, ал егер болса, онда {х_n}тізбегін кемімелі деп атайды.

Егер әрбір n (n =1, 2,...) үшін болса, онда { х_n } тізбегін кемімейтін, ал егер болса, онда { х_n }тізбегін өспейтін тізбек деп атайды.

Бұл тізбектердің әрқайсысын монотонды деп атайды. Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды деп те атайды.

3-теорема. Кез келген жоғарыдан (төменнен) шенелген өспелі (кемімелі) тізбектің ақырлы шегі бар.

Монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар болады, өйткені онда жиынының супремумы мен инфимумы нақты сан болады.

Қатаң монотонды тізбектердің монотонды тізбектерге қарағанда ерекше қасиеттері бар. Мәселен, монотонды тізбектің мәндерінің бәрі де шегіне тең болуы мүмкін (мысалы, x_n ≡1 үшін), ал катаң монотонды тізбектің бірде-бір мәні шегіне тең бола алмайды.

саны

Ол шекті Л. Эйлер белгілегендей әрдайым әрпімен белгілейді. .

Бұл санның ондық бөлшек арқылы жазылуының алғашқы он таңбасы келесідей болады:

5. Анықталмаған өрнектер

Нақты мәнді шегі бар (жинақталатын) екі тізбектің қосындысының, айырымының, көбейтіндісінің және бөліндісінің де шегі бар болып, алғашқы тізбектердің шектеріне сәйкес амал қолданғандағы нәтижесіне тең болады. Шектің мәні тек қана ақырлы нақты сан емес, немесе болуы мүмкін. Тізбектің шегін есептегенде келесі теңдіктерді ескереміз:

1) егер оң нақты сан болса, онда , , ;

2) егер оң нақты сан болса, онда ;

3) егер теріс нақты сан болса, онда ;

4) , .

Сол сияқты берілген шамаларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесінде шекке көшкенде, ешбір мағынасы жоқ, т.б. анықталмаған өрнектер деп аталатын өрнектердің шығуы мүмкін. Анықталмаған өрнектердің шектерін табуды анықталмағандықты ашу деп атайды.

Мысалдар. 1. .

2. .

3. .

Осы мысалдардан, тізбек шегін есептегенде қажетті келесі формуланы жазуымызға болады:

Анықталмағандықтарды ашу үшін, көп жағдайда, және формулалары қолданылады.

4. Беріген шек түріндегі анықталмағандық. қосындысына көбейсек және бөлсек, яғни тепе-тең түрлендіру жасасақ, онда

Функцияның шегi және үзіліссіздігі

1. Функция шегінің анықтамалары

Нақты сандар жиыны , сол жиынның нүктесі және осы нүктесінің маңайында анықталған функциясы берілсін. функциясының нүктесінде анықталған немесе анықталмағандығы талап етілмейді, яғни нүктесі маңайына тиісті болмауы да мүмкін.

Функция шегінің анықтамасын бермес бұрын «ойылған маңай» ұғымын анықтап алайық.

Анықтама. нүктесінің ойылған -маңайыдеп, нүктесінің -маңайынан нүктесін алып тастағанда пайда болған маңайды атайды.

нүктесінің ойылған - маңайын символымен белгілейді.

Функция шегінің екі анықтамасы бар.

1-анықтама (Функциялардың шегінің маңайлар тіліндегі анықтамасы). Егер кез келген оң саны бойынша саны табылып, , теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық - тер үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда санын функциясының нүктесіндегі ( - ге ұмтылғандағы) шегі деп атап, келесідей белгілейді:

Кванторлар тілінде шектің анықтамасын келесідей жазады:

Шектің анықтамасының геометриялық мағынасы және түзулерін жүргізсек (оларды түзуіне қалауымызша жақын сызуға болады), және интервалдарына сәйкес функция графигінің бөлігі сол екі түзудің арасында жатады.

2-анықтама (Функция шегінің тізбектер тіліндегі анықтамасы).

Егер функциясы нүктесінің маңайында анықталып, бірде-бір мүшесі - ге тең емес, шегі болатын, яғни шарттарын қанағаттандыратын, әрбір тізбегі үшін оған сәйкес тізбегінің шегі бар және ол санына тең болса онда нақты санын функциясының нүктедегі шегі деп атайды.

функциясының тізбектер тіліндегі нүктесіндегі шегін (қысқаша т.-т.)

(т.-т.)

символымен белгілейді.

Шектің жоғарыда берілген маңайлар тіліндегі анықтамасын, тізбектер тіліндегі анықтамасын айыру үшін, функциясының нүктедегі шегінің «e-d» тіліндегі анықтамасы деп атап,

«e-d»

символымен белгілейді.

Кейде шектің «e-d» және тізбектер тіліндегі анықтамаларын оларды енгізген математиктердің есімдерімен атап, сәйкесінше шектің Коши және Гейне берген анықтамалары деп атайды.

Бұл екі анықтама эквивалентті анықтамалар.

2. Біржақты шектер

шегінің анықтамасында саны нүктесінің қай жағында орналасқаны туралы ештеңе айтылған жоқ. Ол нүкте үшін және теңсіздіктерінің әрқайсысы орындалуы мүмкін.

Мұндай шекті жай немесе екіжақты деп атайды.

Егер шектің анықтамасына қосымша немесе шартын енгізсек, онда сәйкес оң немесе сол жақты шектің анықтамасына келеміз.

Анықтама. функциясы интервалында анықталсын.

Егер кез келген саны бойынша саны табылып, () теңсіздігін қанағаттандыратын барлық - тер үшін теңсіздігі орындалса, онда санын функциясының нүктесіндегі сол жақты (оң жақты) шегі деп атайды.

Оң және сол жақты шектерді біржақты шектер деп атап,

символдарымен белгілейді.

Бұл анықтамаларды кванторлар тілінде келесідей жазады:

4-теорема. функциясының нүктесінде жай (екі жақты) шегі бар болуы үшін сол нүктеде оң және сол жақты шектер бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

функциясы шегінің екі анықтамасындағы мен сандары ақырлы (нақты) сан да, символдары да болуы мүмкін.

Егер нақты сан болса, оны ақырлы шек деп атайды. Ал, егер шамасы символдарының біреуі болса, онда оны ақырсыз үлкен шек деп атайды.

Оларды былай белгілейді: , ,

Кванторлар тілінде келесідей жазады:

Сол сиякты, егер нақты сан болса, функцияның шегін нүктедегі шегі деп атайды. Ал, егерде шамасы символдарының бірі болса, онда шекті функцияның шексіздіктегі шегі деп атайды.