Застосування похідної

Правило Лопіталя. Для “невизначеностей типу та ” границя відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Достатні умови зростання та спадання функції. Якщо похідна неперервної на відрізку функції додатна, то функція зростає, якщо похідна – від’ємна, то функція спадна.

Необхідні умови екстремуму функції. Якщо в точці функція має екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними.

Достатні умови екстремуму (перше правило).

Якщо при переході через критичну точку зліва на право похідна змінює знак з “+” на “-”, то в цій точці функція має максимум., а при зміні знака з “-” на “+” – мінімум. Якщо знак не міняється, то екстремуму не має.

Друге правило.

Якщо в критичній точці друга похідна , то в цій точці функція має екстремум: максимум при , мінімум при .

Графік функції опуклий на проміжку , якщо в кожній точці його і вгнутий, якщо .

Точка , в якій і при переході через яку змінює знак є точкою перегину.

В економічних дослідженнях використовують поняття еластичності функції , яке виражається через похідну

.