Функції багатьох змінних

Якщо кожній парі чисел , де , поставлено у відповідність за певним правилом значення , то говорять, що задана функція двох змінних, яку позначають .

Змінні і називають аргументами.

Якщо надати приросту , а - приросту, то одержить приріст . Частинний приріст , частинний приріст .

Частинні похідні першого порядку:

, .

Їх знаходять як звичайні похідні, вважаючи при обчисленні змінну сталою, а при обчисленні змінну сталою. Оскільки частинні похідні першого порядку для функції двох змінних є функціями цих змінних, то можна знайти частинні похідні другого порядку: , , .

Необхідні умови екстремуму функції двох змінних

Якщо в точці функція досягає екстремуму, то її частинні похідні перешого порядку в цій точці дорівнюють нулю:

Достатні умови екстремуму функції двох змінних

Нехай в точці виконується умова і існують частинні похідні другого порядку ; .

Визначимо:

Якщо то в точці функція має екстремум; якщо то екстремуму немає.

Якщо і (або і ), то функція досягає мінімуму, якщо і (або і ), то функція досягає максимуму.

Градієнтом функції двох змінних називається вектор

g = .

Для функції градієнт має вид

g =