Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняннявигляду , яке, коли його можна розв’язати відносно набуває вигляду або .

Функція , де - довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння першого порорядку, якщо при підстановці її в рівняння, вона перетворює його в правильну рівність. Якщо цей розв’язок задає функцію неявно: , то знайдено загальний інтеграл. При довільному одержимо частковий розв’язок (частковий інтеграл).

Задача знаходження розв’язку, який задовільняє початкові умови при , називається задачею Коші для рівняння першого порядку.

Розглянемо деякі класи диференціальних рівнянь, які розв’язуються в квадратурах (розв’язки виражаються через інтеграли від заданих функцій).

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням з відокремленими змінними. Його загальний інтеграл: .

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

В ньому змінні можна розділити і знайти загальний інтеграл

Зауваження. Часто для зручності спрощень записують у вигляді .

Лінійним дифрінянням першого порядку називається рівняння, яке містить шукану функцію , та її похідну в першому степені і не містить їх добутків: .

Підстановкою , за методом Бернулі воно приводиться до інтегрування двох дифрівнянь з відокремлюваними змінними.

Однорідним дифрівнянням першого порядку називається рівняння вигляду , де - однорідні функції одного виміру. Функція називається однорідною виміру , якщо .