Порядку з постійними коефіцієнтами

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння вигляду , де - сталі числа.

Відповідним характеристичним рівнянням називається рівняння:

.

Загальний розв’язок заданого дифрівняння залежить від коренів цього характеристичного рівняння.

1. Якщо корені характеристичного рівняння дійсні та різні, , то загальний розв’язок дифрівняння має вигляд .

2. Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, тобто , то загальний розв’язок .

3. Якщо корені характеристичного рівняння комплексно спряжені, тобто ,де , то загальний розв’язок .

Неоднорідне лінійне дифрівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд , де - сталі числа.

Загальний розв’язок лінійного дифрівняння () дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння () і довільного часткового розв’язку () даного неоднорідного рівняння, тобто

Частковий розв’язок () підбирається для деяких функцій подібним до неї.

1. Нехай , де многочлен . Тоді частковий розв’язок шукаємо у вигляді

якщо - не корінь характеристичного рівняння;

, якщо - простий корінь характеристичного рівняння;

, якщо - подвійний корінь характеристичного рівняння, де ,( -невідомі сталі коефіцієнти, які знаходяться методом невизначених коефіцієнтів).

2. Нехай , тоді частковий розв’язок

якщо - не корінь характеристичного рівняння;

, якщо - корінь характеристичного рівняння;

Для дифрівняння другого порядку загальний розв’язок містить дві довільні сталі. Задача Коші ставиться так:

Знайти такий розв’язок, який би задовільняє умови , при .