Методи обчислення невизначених інтегралів

а) метод беспосереднього інтегрування полягає в прямому застосуванні властивостей інтегралів і таблиці основних інтегралів.

б) метод заміни змінної застосовується для зведення до табличного, введенням підстановки і використонням формули .

Інколи доцільно вводити заміну , щоб звести інтеграл до табличного.

в) метод інтегрування частинами грунтується на використанні формули: . Підінтегральний вираз подають у вигляді добутку множників і . Якщо він містить добуток многочлена на тригонометричну або показникову функцію, то за слід взяти многочлен, а все решту за . Якщо підінтегральний вираз містить добуток многочлена на логарифмічну чи аркфункцію, то за слід брати логарифмічну або аркфункцію, а решта – за .

Не всякий інтеграл можна виразити через відомі елементарні функції.

Завжди інтегруються раціональні функції, які мають вигляд

, де - многочлени.

Якщо найвищий степінь многочлена менший за найвищий степінь многочлена , то дріб називають правильним, в іншому випадку неправильним.

З неправильного дробу виділяють цілу частину шляхом ділення двох многочленів і, таким чином, зводять інтегрування його до інтегрування цілої раціональної функції і правильного дробу.

Правильний дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів чотирьох типів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , кожен з яких інтегрується.

Інтеграли виду , якщо непарне число, обчислюється підстановкою , якщо непарне число – підстановкою . Якщо обидва показники парні, то використовуючи формули пониження степеня тригонометричних функцій:

, , , прийдемо до обчислення інтегралів, в яких хоч один із степенів буде непарним.

Інтеграли типу , ,

перетворюють з використанням формул перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Інтеграли типу , де - раціональна функція від можна звести до інтегрування раціональних дробів за допомогою універсальної підстановки , скориставшись формулами , , .