2015-09-06
5583
1. Обчислити визначник: 
.
а) за допомогою елементарних перетворень:
б) розклавши за елементами рядка (або стовпця):
Розв’язування.
а) за допомогою елементарних перетворень:
|
(-5) 
|
(-2) 
Другий рядок залишаємо без змін. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи другого. Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого, помножені на (-2), додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи другого, помножені на (-5). Одержаний визначник, скориставшись теоремою розкладу, розкладемо визначник за елементами першого стовпця.
б) розклавши за елементами першого рядка, одержимо:
2. Розв’язати систему рівнянь: 
а) методом Гаусса,
б) за правилом Крамера,
в) матричним методом.
Розв’язування.
|
|
|
Виключимо невідому x 1 з другого і третього рівнянь. Для цього додамо перше і друге рівняння, перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до третього, одержимо: 
Виключимо змінну x 2 з третього рівняння. Для цього додамо друге і третє рівняння, отримуємо: 
З одержаної системи, послідовно, визначаємо х3, х2, х1.
Отже множина точок 
є розв’язком вихідної системи лінійних рівнянь.
б) За правилом Крамера.
Знаходимо визначник системи (за правилом Саррюса):
Оскільки визначник системи 
відмінний від нуля, то вона завжди сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера:
де 
одержуємо з визначника заміною і -го стовпця стовпцем вільних членів. Знаходимо:
Отже, 
; 
; 
; 
- єдиний розв’язок системи (ЄРС).
в) Матричним методом.
Введемо позначення: 
.
У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так 
.
Звідси, одержимо розв’язок: 
. Знайдемо обернену матрицю 
.
1) обчислимо визначник матриці 
;
2) знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці 
:
;
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Запишемо матрицю із цих алгебраїчних доповнень:
.
3) Транспонуючи її, одержимо приєднану матрицю:
.
4) Обернена матриця має вигляд:
.
5) Знаходимо розв’язок системи:
Отже, x1=1, x2=2, x3=1 – розв’язок заданої системи лінійних рівнянь.
3. Для виготовлення чотирьох видів продукції Р1, Р2, Р3, Р4 використовують три види сировини S1, S2, і S3. Запаси сировини та норми витрат наведені в таблиці:
| Вид сировини | Запаси сировини | Витрати сировини на одиницю продукції | |||
| Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | ||
| S1 | |||||
| S2 | |||||
| S3 |
Визначити кількість продукції Р1, Р2, Р3, Р4, яку можна виготовити, якщо сировину буде повністю вичерпано. Вказати базовий розв’язок.
Розв’язування: Якщо вважати, що х1, х2, х3, х4 – це кількість одиниць продукції Р1, Р2, Р3, Р4, то дану задачу можна записати в вигляді системи лінійних рівнянь: 
що представляє собою математичну модель даної економічної задачі.
Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса, використовуючи таблиці:
Табл. 1. В першому рядку за ключовий елемент вибираємо 1. Цей рядок називається ключовим рядком. Переписуємо його без змін першим рядком другої таблиці. До відповідних елементів другого і третього рядків додаємо елементи першого помножені на “-2”. Результати записуємо другим і третім рядком таблиці 2.
| х1 | х2 | х3 | х4 | ві | |
| 1 | |||||
| -5 | -2 | -7 | -7 | ||
| -4 | -3 | -2 | -7 | ||
| 4/5 | 7/5 | 14/5 | |||
| 2/5 | 1/5 | 7/5 | |||
| -7/5 | -6/5 | -7/5 | |||
| 5/7 | |||||
| -1/7 | |||||
| 6/7 |
Табл.. 2. В якості ключового елемента вибираємо
“-5”. Результат ділення другого рядка на ключовий елемент, записуємо другим рядком третьої таблиці. Помноживши другий рядок таблиці 3 на “-3”, а потім на ”4”, додаючи отримані рядки відповідно до першого і третього рядків другої таблиці, отримуємо перший і третій рядки третьої таблиці, в яких відбувся процес виключення невідомої х2.
Табл. 3. В третьому рядку ключовий елемент (-7/5) є коефіцієнтом при невідомій х3. Тому ділимо третій рядок третьої таблиці на ключовий елемент (-7/5) і записуємо отриманий рядок третім рядком четвертої таблиці. Нам залишається виключити невідому х3 з перших двох рядків третьої таблиці. Для цього третій рядок множимо спочатку на (-4/5) і додаємо до першого рядка третьої таблиці, а потім, множимо на (-2/5) і додаємо до другого рядка третьої таблиці. Результати дій записуємо першим і другим рядком четвертої таблиці. Таким чином ми отримали результуючу четверту таблицю, в якій кожний рядок має лише дві із чотирьох невідомих. Ця таблиця є розширеною матрицею системи рівнянь: 
В останній системі рівнянь х1, х2, х3 називаються базисними змінними, оскільки матриця, складена з коефіцієнтів при них є одиничною. Невідома х4 називається вільною, тому що може приймати будь-які значення. Але в нашій задачі невідомі хі (і= 1, 2, 3, 4) виражають кількість реалізованої продукції, тому вони повинні бути невід’ємними, тобто
хі ≥ 0.
А значить 
Будь-якому значенню 
відповідає невід'ємний розв’язок, який задовольняє умові задачі. Отже, для х4 = 0, х1 = 2, х2 = 1, х3 = 1 - базовий розв’язок.
4. Три фірми виробили чотири види виробів А1, А2, А3, А4. Відповідно: 13 шт.; 12 шт.; 4 шт.; 11 шт.; ІІ –13; 7; 21; 15; ІІІ – 2; 10; 12; 8. Ціна 1 шт. продукції в місті В1 відповідно: 5 грн., 4, 3 грн., 2 грн., 1, 5 грн., в В2 – 1; 1, 4; 3, 2; 1, 3; в В3 – 2; 3, 6; 2, 5;. 1. Визначити дохід, який одержать фірми від продажу даної продукції в кожному з міст. (Використати добуток матриць).
Розв’язування: Запишемо матрицю продукції 
, стрічки якої утворюються з чисел - кількості виробленої продукції кожною фірмою. Запишемо матрицю цін 
, стовпці якої утворені цінами на вироби в кожному з міст. 
, 
.
Знайдемо добуток матриць Ап та Вц:
.
Матриця-добуток дає можливість аналізувати і порівнювати очікуваний дохід від продажу виробленої продукції. Наприклад: 141,5 –дохід першої фірми в місті В1, 103,7 – дохід другої фірми в місті В2, 118,7 – дохід другої фірми в місті В3. З матриці також видно, що перша фірма одержить дохід в першому місті 141,5 грн., в другому – 56,9 грн., в третьому – 90,2 грн., друга, відповідно – 939,6;103,7; 118,7; третя – 89; 64,8; 78.
5. Задані координати вершин А (2; 2), B (5; 8), C (7; 1) трикутника ABC. Знайти: а) рівняння висоти AD; б) довжину висоти AD;
в) рівняння медіани CE; г) значення кута В; д) площу трикутника АВС. Зробити малюнок.
Розв’язування.
а) Запишемо рівняння в’язки прямих, які проходять через точку А за формулою у-уА = k (x-xА).
У нашому випадку: y -2= k AD(x- 2). З умови перпендикулярності AD i BC одержуємо, що 
. Для знаходження кутового коефіцієнта kBC запишемо рівняння сторони ВС як прямої, яка проходить через дві точки: 
, тобто 
; 
; 
= 
; 2(y-8)= -7(x-5), 2y-16= -7x+35, 7x+2y-51=0 - рівняння сторони ВС.
Якщо змінну у виразити через х, то одержимо: 2y = -7x+51,
у = - 
. Звідси, k BC = - 
, а отже, k AD= 
.
Рівняння висоти має вигляд y-2= 
, або 7y - 14 = 2 (x - 2),
7y - 2x - 10 = 0.
б) Довжину висоти AD знайдемо як відстань від точки А (2; 2) до прямої ВС (7x+2y-51=0) за формулою 
. У нашому випадку А=7; В=2; С= -51, і тоді 
.
в) Медіана СЕ ділить сторону АВ трикутника АВС навпіл, тому
; 
.
Отже, точка Е (3,5; 5) - середина відрізка АВ. Запишемо рівняння медіани СЕ, як рівняння прямої, яка проходить через дві точки С (7; 1) i E (3,5; 5).
; 
;
3,5(y-1)= -4(x-3,5); 3,5y+4x-17,5=0 або 7y-8x-35 =0 (CE).
г) значення кута В знаходимо за формулою 
, рахуючи кут від прямої з кутовим коефіцієнтом k1 до прямої з кутовим коефіцієнтом k 2 проти годинникової стрілки. Обчислюємо кутові коефіцієнти сторін:
, 
.
. Звідси 
.
д) площу трикутника АВС знаходимо за формулою:
.
Довжину сторони ВС знаходимо як відстань між двома точками
;
.
(кв. од).
6. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точки
М (-5; -4) i N (
). Знайти фокуси еліпса. Зробити малюнок.
Розв’язування. Нехай шукане рівняння еліпса буде 
.
Цьому рівнянню повинні задовольняти координати точок M i N. Оскільки точка М належить еліпсу, то виконується рівність 
. Аналогічне рівняння отримуємо з того, що точка N належить еліпсу 
.
Розв’язавши систему рівнянь 
знайдемо величини
а і b. Отримуємо a2 = 50; b2 = 32.
Значить, рівняння еліпса має вигляд 
. Звідси, 
. Тоді координати вершин еліпса:
A1(
; 0), A2(
; 0), B1(0; 
), B2(0; 
).
Знайдемо величину c= 
.
Отже, фокуси мають координати: F1(
; 0), F2(
; 0).
|
; 0)
|
|
|
 |
7. Знайти границі функцій: а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
.
Розв’язування.
а) Функція f 
в граничній точці x =1 не визначена, тому що при x =1 чисельник і знаменник дробу перетворюються в нуль, тобто маємо невизначеність виду 
. Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники, знайшовши їх корені. Перетворимо дріб, розділивши чисельник і знаменник на вираз (x -1). Одержимо
.
б) У цьому випадку теж одержимо невизначеність виду . Перетворення функції f 
зводиться до знищення ірраціональності в чисельнику. Для цього помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз до чисельника, тобто на (
), а потім скоротимо дріб на (x -3)
в) У цьому випадку має місце невизначеність виду 
. Розділимо чисельник і знаменник на найвищий степінь x, тобто на x3:
.
г) 
Тут використано формулу: 
- першої “визначної” границі.
д) у цьому прикладі маємо невизначеність виду 
. Зробимо деякі перетворення функції при знаходженні границі 
. При цьому використано формулу: 
- другої "визначної" границі.
8. Знайти похідні функції:
а) 
; б) 
; в) 
.
Розв’язування.
а) 
.
Використаємо правило диференціювання для суми двох диференці-
йованих функцій, а пізніше знайдемо похідні складних функцій:
б) 
. Скористаємося правилом диференціювання частки двох диференційованих функцій, а потім знаходимо похідні складних функцій: 
в) 
.
Задану функцію прологарифмуємо, а пізніше знаходимо, як похідну складної функції.
9. Підприємство за місяць виготовляє х одиниць продукції. Сумарні витрати виробництва описуються функцією 
, 
- залежність між питомою ціною і кількістю одиниць продукції х, яку можна продати по цій ціні. Розрахувати, за яких умов прибуток буде максимальним. Визначити маржинальні і сумарні витрати, прибуток при цих умовах.
Розв’язування. Прибуток 
визначається як різниця між доходами і сумарними витратами виробництва 
.
В нас дохід - 
сумарні витрати - 
прибуток 
- 
Знайдемо маржинальний прибуток - 
.
Максимальним прибуток буде тоді, коли 
оскільки 
При цьому 
; 
; 
.
Отже, щоб прибуток був максимальним, треба випускати 120 од. продукції.
Маржинальні витрати - 
сумарні витрати
.
Максимальний прибуток
.
10. Знайти розміри відкритого басейну з квадратним дном об’ємом 32 м3, за яких на облицювання його стін і дна пішла б найменша кількість матеріалу.
Розв’язування. Нехай дно басейну - квадрат 
з стороною 
, а висота басейну 
. Площа дна басейну: 
. Об’єм басейну: 
. Площа, яка необхідна для облицювання відкритого
басейну 
Оскільки 
то 
Дослідимо функцію S(x).
Знайдемо її похідну 
Знаходимо критичні точки: 
, 
,
.
Вияснимо, як поводить себе функція при переході через критичну точку 
.
Обчислимо: 
,
Оскільки, похідна функції змінює знак з “-” на “+” при переході через цю критичну точку, то точка є точкою мінімуму.
При ширині дна квадратної форми 4 м, площа облицювання відкритого басейну буде найменша.
Знайдемо висоту басейну 
Отже, розміри відкритого басейну будуть такі: дно квадратної форми має сторону квадрата 4м, висота басейну 2м.
11. При відомій функції попиту 
і пропозиції S=S(p)=р+1, де Q і S -кількість товару; p -ціна товару.
Знайти:
а) рівноважну ціну, тобто ціну, при якій попит і пропозиція врівноважуються;
б) еластичність попиту і пропозиції для рівноважної ціни;
в) зміну доходу при підвищенні ціни на 5% від рівноважної.
Розв’язування.
а) рівноважна ціна – ціна, при якій попит і пропозиція врівноважуються. Тому, рівноважна ціна визначається з рівняння 
р=3 грн.
б) знаходимо еластичність попиту і пропозиції за формулами:
В даному випадку
Для рівноважної ціни р=3 маємо 
Знайдені значення еластичності за абсолютною величиною менші за 1, тоді і попит, і пропозиція даного товару при рівноважній ціні нееластичні відносно ціни, тобто зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції. Так, при підвищенні ціни на 1%, попит зменшиться на
0,75%, а пропозиція підвищиться на 0,75%.
б) при підвищенні ціни p на 5% від рівноважної, попит зменшиться на 
, а дохід зросте на 3,75%.
12. Дослідити та побудувати ескіз графіка функції 
.
Розв’язування.
1. Знаходимо область визначення функції: ] -¥; 2 [È] 2; +¥ [.
2. Знаходимо точки перетину прямої з осями координат.
Якщо y=f(x) перетинає вісь Ох, то у=0. Якщо у=0, то х=0.
3. Досліджуємо функцію на парність.
. Функція є ні парна, ні непарна.
4. Досліджуємо функцію на неперервність.
В т. х=2 функція має розрив (знаменник рівний нулю, функція невизначена.). 
. Це є розрив ІІ роду.
5. Знаходимо асимптоти кривої. Вертикальна асимптота х=2, тому що .
Похилу асимптоту шукаємо у вигляді y=kx+b, де 
,
b = 
.
;
.
Отже, рівняння похилої асимптоти має вигляд: у=х+2.
6. Досліджуємо функцію на екстремум:
Критичні точки: х=0, х=2, х=4.
Зобразимо числову пряму і проміжки монотонності:
 |
т. х=0 – точка максимуму, f(0)=0;
т. х=4 – точка мінімуму, f(4)= 
.
Зробимо малюнок.
13. Мале підприємство виробляє товари А і В. Загальні щоденні витрати V (у гривнях) на виробництво х одиниць товару А та у одиниць товару В відомі: V=320 – 14х-10у+ 0, 2 х2+ 0, 1 у2. 1)Визначити кількість одиниць товарів А і В, яку потрібно виробляти, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними.
Розв’язування. Загальна функція витрат відома: V=320–14x–10y+0, 2х2+0,1 у. 2 Щоб знайти кількість одиниць товарів х товару А і у товару В, необхідно дослідити цю функцію на екстремум.
Знайдемо частинні похідні І-го порядку 
Прирівнюючи їх до нуля, 
одержимо систему рівнянь 
Знайдемо частинні похідні II порядку: 
Обчислимо D=АС-В2=0, 4 
0, 2-0=0, 08 > 0 і А=0, 4 > 0
Отже, функція витрат при х =35, у=50 досягає мінімуму. Це означає, що для того, щоб загальні витрати підприємства були мінімальними, необхідно виробити 35 одиниць товару А і 50 одиниць товару В.
14. Нехай виробнича функція визначається функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5%, треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник за місяць виготовляв продукції на 2000 грн., а всього робітників було 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн. грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктивності праці, еластичність випуску по праці і по фондах.
Розв’язування. Еластичність випуску по праці 
, а по фондах 
Отже, функція Кобба-Дугласа має вигляд: 
,
Підставляючи інші величини, одержимо:
, тобто
Отже, шукана виробнича функція 
Середня фондовіддача дорівнює 
а середня продуктивність 
, 
.
15. Маючи ціну X ( грн./од.)на товар і попит на цей товар Y (од.)
| X | ||||||||
| Y |
Знайти емпіричну формулу цієї залежності.
Розв’язування. Вважаючи залежність лінійною, шукаємо її у вигляді 
, де k і b знаходяться з системи нормальних рівнянь
Для обчислення потрібних сум побудуємо таблицю:
n  |  |  |  |  |
 |
Підставивши одержані суми в систему нормальних рівнянь, одержимо:
Звідси 
Отже, дана залежність виражається формулою 
.
16. Знайти невизначені інтеграли: а) 
,
б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
є) 
, ж) 
.
Розв’язування.
а) 
.
Зробимо підстановку: 
Продиференціюємо: 
. Тому
б) 
в) 
.
Застосовуємо метод інтегрування за частинами: 
Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx. Тоді du=dx, v= 
cos3x.
Тобто: 
.
г) 
Знову інтегруємо методом інтегрування за частинами.
Підінтегральний вираз є добутком показникової функції на тригонометричну. Виберемо u= 
, а dv = 
. Тоді 
, 
Застосуємо двічі цю формулу. Два разиза u беремо . Одержуємо 
.
Знаходимо шуканий інтеграл:
г) 
.
Підінтегральний раціональний дріб неправильний.
Виділяємо цілу частину:
 |  | ||||
 | x+2+  | ||||
 | |||||
  | |||||
| 7x-4 |
.
Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, розкладаємо дріб на суму простих: 
; 
;
В=5; А=2. Одержимо:
Тобто 
.
е) 
Розкладемо підінтегральну функцію, яка є правильним раціональним дробом, на суму найпростіших дробів за допомогою неозначених коефіцієнтів 
Звідси, 
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях :
.
Тоді 
є) 
.
Враховуємо, що cos3x=cos2xcosx, та cosxdx=dsinx. Тоді
ж) 
.
За допомогою універсальної підстановки 
, даний інтеграл зводимо до інтегралу від раціонального дробу. Використавши формули
; 
, отримаємо:
. Одержимо інтеграл від правильного дробу. Розкладемо підінтегральну функцію на прості дроби: 
. Звідси: 
. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях 
і складаємо систему рівнянь:
Тоді,
17. Обчислити визначений інтеграл 
.
Розв’язування. Зробимо підстановку 
.
Продиференціюємо цю рівність 
.
Встановимо нові межі інтегрування.
| | ||
| |
При 
, при 
. Тоді
18. Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями 
, 
.
Розв’язування. Для знаходження меж інтегрування знайдемо точки перетину ліній, розв’язавши систему рівнянь.
; 
; 
.
Отже, площа фігури, яку треба знайти, обмежена заданими кривими, що перетинаються у точках з абсцисами 
, 
.
|
19. Обчислити об’єм тіла обертання утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями 
, 
.
Розв’язування. Щоб знайти межі інтегрування розв’яжемо систему рівнянь
, 
.
Об’єм тіла обертання знаходиться за формулою
.
Отже, на основі цього маємо
(куб. од.).
20. Швидкості зміни витрат і доходу підприємства після початку його діяльності визначались формулами:
і 
вимірювали у мільйонах гривень, а - у роках. Визначити тривалість прибуткового існування підприємства і знайти загальний прибуток, що одержали за цей час.
Розв’язування. Оптимальний час 
для прибутку підприємства одержимо з умови 
Отже, підприємство було прибутковим 1 рік. За цей час одержано прибутку:
21. Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціальних рівнянь та розв’язати задачу Коші для тих рівнянь, де вказані початкові умови.
а)
, б) 
; 
при , в)
|
|
