Рівняння з відокремленими змінними та рівняння, що зводяться до них

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку

M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0, (1)

де кожен з коефіцієнтів біля диференціалів є добутком двохфункцій, одна з яких залежить тільки від x, а інша – тільки від y. Рівняння (1) називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Для інтегрування рівняння (1) потрібно домогтися того, щоб коефіцієнт біля dx залежав тільки від x, а коефіцієнт біля

dy – тільки від y. Це досягається діленням обох частин рівняння на добуток M₂(x)N₁(y), причому вважаємо, звичайно, що M₂(x) = 0 і N₁(y) = 0. Після цього одержуємо

Рівняння (2) можна розглядати як рівність диференціалів, тому інтеграли від диференціалів відрізняються на сталу, тобто

де C – довільна стала, x₀, y₀ – деякі числа з області завдання і неперервності коефіцієнтів рівняння (2). Співвідношення (3) є загальним інтегралом рівняння (1). Його можна записати також у вигляді

бо визначеніінтеграли зі змінної верхньою межею й невизначеніінтеграли є первісними для одних і тих самих підінтегральних функцій, а тому відрізняються лише сталими, які можнавключити в C.

Якщо a – розв’язок рівняння M₂(x) = 0, то x = a є розв’язком рівняння (1), бо dx = 0, а M₂(a) = 0. Так само, якщо b – корінь рівняння N₁(y) = 0, то y = b – корінь рівняння (1). Диференціальне рівняння (2) можна записати у більш загальному вигляді: M(x)dx+N(y)dy = 0 (4)

Рівняння (4) називають рівнянням з відокремленими змінними, а перехід від (1) до рівняння вигляду (4) – відокремленням змінних.

Загальним інтегралом рівняння (4) є

Рівняння з відокремлюваними змінними можна записати також у вигляді

y^l= f₁(x)f₂(y). (5)

Для інтегрування рівняння (5) потрібно поділити обидві його частини на f₂(y) (якщо f₂(y) = 0) і помножити на dx (врахувавши, що dy = y^ldx). Отже, [zdes’ bil risunok]

а після інтегрування одержуємо загальний інтеграл рівняння

(5):

Тут, як і для рівняння (1), якщо f₂(a) = 0, то y = a є розв’язком рівняння (5).