2015-09-06
4136
Задачі що приводять до диференціальних рівнянь.
Диференціальні рівняння першого порядку. Основні поняття та означення.
Рівняння з відокремленими змінними та рівняння, що зводяться до них.
Однорідні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
Лінійні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них. Методи Лагранжа та Бернуллі.
Рівняння Бернуллі та Ріккаті.
Рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник. Теорема.
Поняття коректності математичної задачі.
Теорема про існування та єдність розв’язку задачі Коші.
Теорема про неперервну залежність розв’язку від параметра та початкових даних.
11. Особливі точки та лінії для рівняння y'=f(x, y).
Диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв.Загальні поняття.
13. Задача Коші. Теорема про існування та єдність розв’язку задачі Коші.
Лінійні рівняння n-го порядку. Основні поняття та означення.
Властивості рівнянь при зміні залежної та незалежної змінних.
|
|
|
Лінійний оператор та його властивості.
Лінійно залежні та незалежні функції. Визначник Вронського
Загальний розв'язок лінійного однорідного диф. рівняння n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння. Властивості розв’язків. Теорема 6.
Метод варіації довільних сталих
Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Частинний розв’язок лінійного неоднорідного ДР зі сталими коефіцієнтами і спец. прав. частиною.
Поняття про крайовiзадачi.
Система звич.ДР. Основні поняття.
Інтегрування нормальної системи рівнянь методом виключення
Система однорідних диф. рівнянь. Лінійний диференціальний оператор. Теорема (1-5)
Система лінійних неоднорідних ДР. Властивості розв’язків.
Система лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Частинний розв’язок лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною
Основні поняття теорії стійкості.
Стійкість за першим наближенням
Власні інтеграли залежні від параметру та їх властивості
Властивості інтегралів у випадку залежних від параметру меж інтегрування
Невласні інтеграли залежні від параметру їх збіжність та рівномірна збіжність
Властивості рівномірно збіжних невласних інтегралів залежних від параметру
Ейлерові інтеграли та їх властивості
Задачі що приводять до диференціальних рівнянь.
|
|
|
Використання математичних моделей є одним з найбільш ефективних методів вивчення різноманітних фізичних процесів і явищ. Математичні моделі допомагають зрозуміти фізичний процес, дають можливість встановити якісні та кількісні характеристики його стану, з їх використанням можна передбачити подальший розвиток процесу без натуральних експериментів, проведення яких у багатьох випадках є надто дорогим або просто неможливим. Вивчаючи фізичні явища, не завжди вдається безпосередньо знайти закони або формули, які пов’язують між собою величини фізичного процесу, але часто можна виявити певну функціональну залежність між невідомими характеристиками процесу, швидкостями їх зміни й часом, тобто знайти рівняння, які містять похідні невідомих характеристик процесу. Такі рівняння називають диференціальними, а знаходження невідомої функції (розв’язку) – інтегруванням диференціального рівняння.
Розв’язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу можна розділити на два етапи:
1. Складання диференціального рівняння, яке при певних припущеннях описує сутність явища чи процесу.
2. Знаходження розв’язку диференціального рівняння, тобто функціональної залежності між величинами, які характеризують фізичне явище.
Для складання диференціальних рівнянь природничих наук використовують фізичний зміст першої та другої похідної.
Питання про відповідність математичної моделі й реального явища вивчається на основі аналізу результатів досліду та їх порівняння з поведінкою розв’язку одержаного диференціального рівняння.
Зауважимо, що багато розділів фізики значною мірою можна розглядати як різні розділи теорії диференціальних рівнянь. Перш за все це виявляється в аналітичній механіці, яку багато вчених розглядають як математичну дисципліну. Основним апаратом сучасної теоретичної фізики також є диференціальні рівняння.
