2015-09-06
287
(…)
104. Теперь речь идет о том, чтобы перейти от исследования обмена двух товаров (А) и (В) к исследованию обмена нескольких товаров (А), (В), (С), (D)... между собой. Для этого нам достаточно должным образом обобщить наши формулы, начиная с того случая, когда обменивающиеся лица являются держателями лишь одного товара.
Теперь обозначим через Da,b действительный спрос на (А) в (В), Db,a действительный спрос на (В) в (А), рa,b цену (А) в (В), рb,a, цену (В) в (А). Четыре неизвестные Da,b, Db,a,.pa,b, pb,a связаны двумя уравнениями действительного спроса:
D a,b = F a,b(p a,b),
D b,a = F b,a(p b,a),
и двумя уравнениями равенства действительных спроса и предложения:
D b,a = D a,b p a,b,
D a,b = D b,a p b,a,
(…)
105. Теперь перейдем сначала от случая с двумя товарами (А) и (В) к случаю с тремя товарами (А), (В) и (С). Для этого представим себе рынок, на который приходят, с одной стороны, люди, имеющие товар (А). и расположенные отдать одну его часть для получения товара (В) и одну часть – для получения товара (С); с другом стороны, люди, имеющие товар (В) и расположенные отдать одну его часть для получения товара (А) и одну часть – для получения товара (С); наконец, люди, имеющие товар (С) и расположенные отдать одну его часть для получения товара (А) и одну часть – для получения товара (В).
|
|
|
Если это так, то взяв из них, например, держателя (В) и проведя должным образом наши предыдущие рассуждения (§ 50), мы можем сказать – и здесь также, – что намерения данного индивида к торгу поддаются строгому определению.
Действительно, всякий держатель количества qb товара (В), идущий на рынок для обмена там некоторого количества о b,a этого товара на некоторое количество d a,b товара (А) в соответствии с уравнением обмена:
d a,b v a = o b,a v b
и некоторого количества оттого же самого товара на некоторое количество d c,b товара (С) в соответствии с уравнением обмена
d c,b v c = o b,c v b,
придет с рынка с количеством d a,b (А), количеством d c,b (С) и количеством у = q b– o b,a– o b,c = q b– d a,b v / v b– d c,b v c/ v b (В). В любом случае между количествами q b, v a/ v b или р a,b, d a,b, vc/vb или рc,b, dc,b и у всегда будет иметь место соотношение:
q b,= y + d a,b р a,b + dc,bрc,b,
До прихода на рынок наш человек не знает, какими будут v a /v b или p a,b, и v c /v b или рc,b,но он уверен, что узнает это сразу же по прибытии туда и что, зная эти значения p a,b, и рc,b, он соответственно примет для себя значение d a,b и значение dc,b из которых получится, в конечном счете, значение y в соответствии с приведенным выше уравнением. Разумеется, мы вынуждены признать, что нельзя определить d a,b, не зная как рc,b, так и p a,b, нельзя определить и dc,b, не зная как p a,b, так и рc,b. Но мы вынуждены также согласиться с тем, что, если известны p a,b и рc,b, тотем самым поддаются определению и d a,b и dc,b.
|
|
|
106. Итак, здесь тоже нет ничего легче, чем выразить математически прямое отношение d a,b и dc,b, или действительного спроса на (А) и (С) в (В), к p a,b, и рc,b, или к цене этих товаров. Данное отношение, соответствующее намерениям к торгу нашего индивида, будет строго выражено двумя уравнениями d a,b = fa,b (p a,b, p c,b) и d c,b = fc,b, (p a,b, p c,b). Таким же образом мы получим уравнения, выражающие намерения к торгу по поводу (А) и (С) всех остальных держателей (В); и, наконец, суммируя просто-напросто эти уравнения частичного спроса, мы получим два уравнения совокупного спроса:
D a,b = F a,b(p a,b, p c,b)
D c,b = F c,b(p a,b, p c,b)
выражающие намерения к торгу всех держателей (В).
Равным образом мы получим два уравнения совокупного спроса:
D a,c = F a,c(p a,c, p b,c)
D b,c = F b,c(p a,c, p b,c)
выражающие намерения к торгу всех держателей (С).
Наконец, точно также мы получим два уравнения совокупного спроса:
выражающие намерения к торгу всех держателей (Ф)
107. Впрочем, мы имеем два уравнения обмена:
D a,b = D a,b p a,b, D b,c = D c,b p c,b
(B) на (A) и (C).
Мы имеем два уравнения обмена:
D c,a = D a,c p a,c, D b,c = D c,b p c,b
(C) на (А) и (В).
Наконец, мы имеем два уравнения обмена:
D a,b = D b,a p b,a, D a,c = D a,c p b,c
(А) на (В) и (С).
Итак, имеем, в конечном счете, 12 уравнений с 12 неизвестными, представляющими собой шесть цен трех товаров одного в другом, и шесть совокупных количеств трех товаров, обмениваемых друг на друга.
108. Теперь пусть дано m товаров (А), (В), (С), (D)..., имеющихся на рынке; понятно, что в силу точно таких же рассуждений, как в случае с двумя товарами и в случае стремя товарами, рассуждений, которые не стоит повторять еще раз, мы можем сформулировать сначала т – 1 уравнений действительного спроса на (В), (С), (D)... в (А):
D b,a = F b,a(p b,a, p c,a, p d,a…),
D c,a = F c,a(p b,a, p c,a, p d,a…),
D b,a = F b,a(p b,a, p c,a, p d,a…)
m –1 уравнений действительного спроса на (A), (С), (D)… в (B);
D a,b = F a,b(p a,b, p c,b, p d,b…),
D c,b = F c,b(p a,b, p c,b, p d,b…),
D b,b = F b,b(p b,b, p c,b, p d,b…)
m –1 уравнений действительного спроса на (А), (В), (D)... в (С):
D a,c = F a,c(p a,c, p b,c, p d,c…),
D b,c = F b,c(p a,c, p b,c, p d,c…),
D d,c = F b,c(p a,c, p b,c, p d,c…)
т –1 уравнений действительного спроса на (А), (В), (С)... в (D):
D a,d = F a,d(p a,d, p d,d, p c,d…),
D b,d = F b,d(p a,d, p b,d, p c,d…),
D c,d = F c,d(p a,d, p b,d, p c,d…)
и так далее; таким образом, всего т (т –1) уравнений.
109. С другой стороны, мы можем, разумеется, также сформулировать – без новых объяснений – т– 1 уравнений обмена (А) на (B), (C), (D)...
D a,b = D b,a p b,a, D a,c = D c,a p c,a, D a,d = D d,a p d,a….
т– 1 уравнений обмена (В) на (А), (С), (D)...
D b,a = D a,b p a,d, D b,c = D c,b p c,b, D b,d = D d,b p d,b….
m –1 уравнений обмена (С) на (А), (В), (D)...
D c,a = D a,c p a,c, D c,b = D b,c p b,c, D a,d = D d,c p d,c….
m –1 уравнений обмена (D) на (А), (В), (С)...
D d,a = D a,d p a,d, D d,b = D b,d p b,d , D d,c = D c,d p c,d….
и так далее; итак, снова в обшей сложности т (m –1) уравнений.
Эти m (m –1) уравнений обмена вместе с m (m –1) уравнений действительного спроса дают в совокупности 2 m (m –1) уравнений. Однако у нас в точности 2 m (m –1) неизвестных; действительно, для т товаров, обмениваемых попарно, имеется m (m –1) цен и m (m –1) совокупных количеств товаров, прошедших через обмен. (…)
111. Задача обмена нескольких товаров между собой представляется ртЯйенной. Но в действительности она решена лишь наполовину. При определенных выше условиях на рынке будет иметь место некоторое равновесие цен товаров, взятых попарно; но это будет лишь несовершенное равновесие. Совершенное или общее равновесие рынка имеет место лишь в том случае, если цена двух каких-либо товаров, одного в другом, равна отношению цен и того, и другого в каком-либо третьем (товаре). Именно это и следует доказать. Для этого из всех имеющихся товаров возьмем три, например, (А), (В) и (С); предположим, что цена p c,b больше или меньше, чем отношение цен p c,a и p b,a и посмотрим, что произойдет.
Чтобы суть дела была ясна, вообразим, что место, служащее рынком для обмена всех товаров (А), (В), (С), (D)... между собой, поделено на столько частей, сколько происходит операций обмена товаров друг на друга попарно, т.е. на m (m –1)/2 специальных рынков, обозначаемых табличками с указанием обмениваемых товаров и цен обмена, определяемых математически в соответствии с данной выше системой уравнений. Имеем: «Обмен (А) на (В) и (В) на (А) по взаимным ценам p a,b, p b,a»; – «Обмен (А) на (С) и (С) на (А) по взаимным ценам p a,c, p c,b»; – «Обмен (В) на (С) и (С) на (В) по взаимным ценам p b,c, p c,b». Итак, если бы каждый держатель (А), желающий получить (В) и (С), ограничился обменом своего товара (А) на (В) и (С) на двух первых специальных рынках, если бы каждый держатель (В), желающий получить (А) и (С), ограничился обменом своего товара (В) на (А) и (С) на первом и третьем рынках, если бы каждый держатель (С), желающий получить (А) и (В), ограничился обменом своего товара (С) на (А) и (В) на двух последних рынках, то равновесие сохранилось бы в том виде, как есть. Но нетрудно показать, что ни держатели (А), ни держатели (В), ни держатели (С) не примут этого способа обмена; все они будут действовать иным способом, более для них выгодным.
|
|
|
112. Итак, предположим
или
| или |
где вначале α > 1.
Из этого уравнения, следует, что настоящая цена (С) в (В) не рc,b, а pc,b/α, имея в виду, что с рc,b/α (В) имеем pc,b/α товара (А) по цене pa,b=1/pb,a (A) в (B) на рынке (А,В); и что с pc,bpb,a/α (А) имеем pc,bpb,a pa,c/α = 1 (С) по цене р c,a = 1/pa,c (С) в (А) на рынке (А,С).
Отсюда следует также, что настоящая цена (В) в (А) не pb,a, а pb,a/α, имея в виду, что с pb,a/α (А) имеем pb,a/α товара (С) по цене pc,a=1/pa,c (С) в (А) на рынке (А,С); и что с pb,apa,c/α имеем рb,apa,cpc,b/α = 1 (B) по цене pb,c=1/pc,b (B) в (С) на рынке (В,С).
Из этого же уравнения, наконец, следует, что настоящая цена (А) в (С) не pa,c, а pa,c/α, имея в виду, что с рa,c/α (С) имеем рa,cpc,b/α товара (В) по цене рb,c= 1/рс,b, (В) в (С) на рынке (В,С); и что с рa,cpc,b/α (B) имеем рa,cpc,b/α = 1 (А) по цене рa,b= 1/рb,a, (А) в (В) на рынке (А,В).
114. Держатели (А), (В), (С), разумеется, без колебаний проведут следующие замены: одни произведут косвенный обмен (А) на (С) и (С) на (В) вместо прямого обмена (А) на (В); другие – косвенный обмен (В) на (А) и (А) на (С) вместо прямого обмена (В) на (С); третьи – косвенный обмен (С) на (В) и (В) на (А) вместо прямого обмена (С) на (А). Этот косвенный обмен называется арбитражем (арбитражной операцией. – Прим. перев.). Что касается экономии, получаемой таким путем, то они распределят ее по собственному усмотрению на свои потребности, обеспечивая себе дополнительное количество того или иного товара с тем, чтобы получить как можно большую сумму удовлетворения. Мы могли бы указать на условие этого максимума, состоящее в том, чтобы соотношения интенсивностей последних удовлетворенных ^потребностей были бы равны реальным ценам, проистекающим из арбитражных операций. Но, не входя в данное соображение, достаточно заметить, что этот дополнительный спрос будет предъявляться так же, как и основной: держателями (А) – через обмен (А) на (С) и (С) на (В), но никак не через обмен (А) на (В); держателями (В) – через обмен (В) на (А) и (А) на (С), но никак не через обмен (В) на (С); держателями (С) – через обмен (С) на (В) и (В) на (А), но никак не через обмен (С) на (А). Таким образом, на рынке (А,В) постоянно будет спрос на (А) и предложение (В), но не будет спроса на (В) и предложения (А); отсюда – понижение рb,a. На рынке (А,С) постоянно будет спрос на (С) и предложение (А), но не будет спроса на (А) и предложения (С); отсюда – повышение рc,a. На рынке (В,С) постоянно будет спрос на (В) и предложение (С), но не будет спроса на (С) и предложения (В); отсюда – понижение рc,b.
|
|
|
115. Мы видим тем самым, что в случае, когда рc,b > рc,a/pb,a, равновесие рынка не является окончательным или общим и что на нем происходят арбитражные операции, результат которых – понижение рc,b, повышение рc,a и понижение pb,a. Мы видим в то же самое время, что в случае, когда pc,d< < pc,a/pb,a на рынке пройдут арбитражные операции, результатом которых будет повышение рc,b, понижение рc,a и повышение pb,a. Действительно, тогда мы получим
или
αpb,cpa,bpc,a = 1,
где α< 1; отсюда вытекает, что настоящая цена (В) в (С) есть αрb,c при условии обмена (С) на (А) и (А) на (В), что настоящая цена (А) в (В) есть αрa,b при условии обмена (В) на (С) и (С) на (А), что настоящая цена (С) в (А) есть αрc,a при условии обмена (А) на (В) и (В) на (С). Впрочем, достаточно очевидно, что то, что было сказано относительно цен (А), (В) и (С), может быть сказано и о ценах любых трех товаров. Если бы, следовательно, мы захотели, чтобы арбитражные операции не имели места, а равновесие товаров, взятых на рынке попарно, было бы общим, то надо было бы ввести условие, по которому цена двух каких-либо товаров, одного и другом, была бы равна отношению цен того и другого к какому-либо третьему товару, т.е. надо было бы сформулировать следующие уравнения:
и так далее, или, в целом, (т –1) (т– 1) уравнений общего равновесия, содержащих в неявном виде m (m –1)/2 уравнений цен.
Товар, в котором формулируются таким образом цены всех остальных товаров, является счетным.
116. Очевидно, что введение (т –1) (т– 1) уравнений, определяющих условие, требует, чтобы наша предыдущая система уравнений спроса и предложения была сокращена на соответствующее число уравнений. Именно это как раз и происходит при замене отдельных рынков на общий рынок при замене уравнений обмена, указывающих на равенство спроса и предложения по каждому товару на каждый из остальных товаров на нижеследующие уравнения обмена, устанавливающие равенство спроса и предложения по каждому товару на все остальные:
Da,b + Da,c+ Da,d + … = Db,a p b,a + Dc,a p c,a + Dd,a p d,a +…
Db,a + Db,c+ Db,d + … = Da,b p a,b + Dc,b p c,b + Dd,b p d,b +…
Dc,a + Dc,b+ Dc,d + … = Da,c p a,c + Db,c p b,c + Dd,c p d,c +…
Dd,a + Dd,b+ Dd,c + … = Da,d p a,d + Db,d p b,d + Dc,d p c,d +…
и так далее, итого т уравнений. Но эти т уравнений сокращаются до m –1. Действительно, если ввести в них значения цен, выведенные из уравнений общего равновесия, и обозначить просто через p b, p c, p d…цены (В), (С), (D)... в (А), то они примут вид
Da,b + Da,c+ Da,d + … = Db,a p b + Dc,a p c + Dd,a p d +…
Db,a + Db,c+ Db,d + … = Da,b1/ p b + Dc,b p c/ p b + Dd,b p d/ p b +…
Dc,a + Dc,b+ Dc,d + … = Da,c1/ p c + Db,c p b/ p c + Dd,c p d/ p c +…
Dd,a + Dd,b+ Dd,c + … = Da,d1/ p d + Db,d p b/ p d + Dc,d p c/ p d +…
И если теперь мы сложим вместе последние т– 1, умножив предварительно обе части первого уравнения на p b, второго – на p c, третьего – на p d..., и вычтем из той и другой части тождественные члены, то мы вернемся к первому уравнению системы. Этим первым уравнением можно, следовательно, пренебречь, и система сокращается до т –1 последующих уравнений. Эти уравнения остаются как m –1 уравнений обмена, которые вместе с т (т –1) уравнениями спроса и (т –1)(т –1) уравнениями общего равновесия образуют совокупность в 2 т (т –1) уравнений, корнями которых являются m (т –1) цен m товаров, выраженных в ценах других, и т (т –1) совокупных количеств данных т товаров, обмененных друг на друга. Вот как математически выводятся цены, если даны уравнения спроса. (…)
