2015-09-06
2599
Глава 4
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ
Средняя длина свободного пробега молекул газа
Участвуя в тепловом движении, молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Среднее расстояние 
, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют средней длиной свободного пробега, а соответствующий промежуток времени 
– средним временем свободного пробега. Очевидно, что 
где 
– средняя (арифметическая) скорость теплового движения молекул.
Будем считать, что молекула А движется относительно неподвижной молекулы В со средней относительной скоростью 
Введем параметр столкновения 
называемый прицельным расстоянием, определив его как расстояние между центром одной молекулы (А) и линией первоначального движения другой молекулы (В). Столкновение между этими молекулами произойдет, если прицельное расстояние 
где 
– диаметр молекулы, т.е. если центр молекулы В окажется внутри диска площадью 
с центром, совпадающим с центром молекулы А. Эту площадь называют эффективным сечением столкновения молекул; 𝜌 называют также эффективным радиусом взаимодействия. За время t с молекулой А столкнутся все те молекулы, которые попадут в объем круглого цилиндра с осью, направленной вдоль вектора скорости v отн, площадью основания 
и высотой 
(рис. 4.1, а). Число столкновений за время t будет равно числу молекул в указанном объеме, т.е. равно 
где n – число молекул в единице объема газа. За время 
в среднем произойдет только одно столкновение, так что 
Откуда 
Для определения 
предположим, что до столкновения молекулы имели скорости v 1 и v 2. Тогда вектор относительной скорости v отн = v 1 – v 2. Из треугольника скоростей (рис. 4.1, б) по теореме косинусов имеем 
Среднее значение квадратов скоростей всех молекул вследствие хаотичности теплового движения одинаково: 
обозначим эту величину 
Кроме того, так как все направления движения молекул равновероятны, то косинус угла 
между векторами v 1 и v 2 после каждого столкновения одинаковое число раз может принимать равные по модулю положительные и отрицательные значения, поэтому среднее значение косинуса 
Тогда, усредняя значение квадрата относительной скорости, будем иметь
а) б)
Рис. 4.1
Поскольку, как отмечалось в п. 3.6, средняя арифметическая и средняя квадратичная 
скорости пропорциональны друг другу, то из этого равенства находим, что 
Подставляя это в выражение для τ, получим среднее время свободного пробега молекулы
(4.1)
и среднее расстояние свободного пробега
(4.2)
Среднее число столкновений молекул за единицу времени
(4.3)
как и должно быть, чем больше размеры молекул и чем больше их концентрация, тем чаще сталкиваются молекулы друг с другом.
Газ можно считать разреженным, а значит, и идеальным, если средняя длина свободного пробега молекулы много больше диаметра молекулы: 
Подставляя сюда выражение (4.2), придем к тому же критерию идеальности газа (2.1).
