Средняя длина свободного пробега молекул газа

Глава 4

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

Средняя длина свободного пробега молекул газа

Участвуя в тепловом движении, молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Среднее расстояние , проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют средней длиной свободного пробега, а соответствующий промежуток времени – средним временем свободного пробега. Очевидно, что где – средняя (арифметическая) скорость теплового движения молекул.

Будем считать, что молекула А движется относительно неподвижной молекулы В со средней относительной скоростью Введем параметр столкновения называемый прицельным расстоянием, определив его как расстояние между центром одной молекулы (А) и линией первоначального движения другой молекулы (В). Столкновение между этими молекулами произойдет, если прицельное расстояние где – диаметр молекулы, т.е. если центр молекулы В окажется внутри диска площадью с центром, совпадающим с центром молекулы А. Эту площадь называют эффективным сечением столкновения молекул; 𝜌 называют также эффективным радиусом взаимодействия. За время t с молекулой А столкнутся все те молекулы, которые попадут в объем круглого цилиндра с осью, направленной вдоль вектора скорости v _отн, площадью основания и высотой (рис. 4.1, а). Число столкновений за время t будет равно числу молекул в указанном объеме, т.е. равно где n – число молекул в единице объема газа. За время в среднем произойдет только одно столкновение, так что Откуда

Для определения предположим, что до столкновения молекулы имели скорости v ₁ и v ₂. Тогда вектор относительной скорости v _отн = v ₁ – v ₂. Из треугольника скоростей (рис. 4.1, б) по теореме косинусов имеем Среднее значение квадратов скоростей всех молекул вследствие хаотичности теплового движения одинаково: обозначим эту величину Кроме того, так как все направления движения молекул равновероятны, то косинус угла между векторами v ₁ и v ₂ после каждого столкновения одинаковое число раз может принимать равные по модулю положительные и отрицательные значения, поэтому среднее значение косинуса Тогда, усредняя значение квадрата относительной скорости, будем иметь

а) б)

Рис. 4.1

Поскольку, как отмечалось в п. 3.6, средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости пропорциональны друг другу, то из этого равенства находим, что Подставляя это в выражение для τ, получим среднее время свободного пробега молекулы

(4.1)

и среднее расстояние свободного пробега

(4.2)

Среднее число столкновений молекул за единицу времени

(4.3)

как и должно быть, чем больше размеры молекул и чем больше их концентрация, тем чаще сталкиваются молекулы друг с другом.

Газ можно считать разреженным, а значит, и идеальным, если средняя длина свободного пробега молекулы много больше диаметра молекулы: Подставляя сюда выражение (4.2), придем к тому же критерию идеальности газа (2.1).