Распространение звуковой волны в газе

Рассмотрим процесс распространения звука в газовой среде и найдем его скорость в газе. Представим себе с этой целью полубесконечную цилиндрическую трубу, заполненную газом, в конце которой вставлен поршень, совершающий колебания туда и обратно. Эти колебания будут передаваться от поршня к соседним с ним частицам газа, от этих частиц – к более далеким частицам, и поэтому вдоль трубы будет распространяться волна сжатия и разрежения газа.

Определим скорость этой волны, обозначив ее v _зв. За время dt звук распространится на расстояние v _зв dt, так что в состояние волнового движения придут частицы в объеме v _зв dtS, где S – площадь поперечного сечения трубы. Обозначим скорость поршня в некоторый момент времени v. За промежуток времени dt поршень сдвинется на расстояние vdt, благодаря чему объем газа уменьшится на vdtS. Разделив эту величину на v _зв dtS, мы найдем относительное изменение плотности газа в момент времени t

(5.17)

где – плотность газа в отсутствие звука, а – изменение плотности, обусловленное распространяющейся звуковой волной.

Изменение плотности вызывает изменение давления газа. Так как звуковые колебания совершаются очень быстро, то при распространении звука не успевает происходить обмен теплом между различными элементам среды. Иными словами, распространение звука представляет собой адиабатный процесс. Поэтому изменение давления , возникающее при распространении звука, можно представить в виде

где – производная от давления газа по плотности при адиабатном процессе. Эта формула соответствует предположению о том, что звуковые колебания являются малыми. Величину часто называют акустическим давлением. С учетом формулы (5.17) акустическое давление можно представить в виде

(5.18)

Умножив на S, получим силу F, с которой поршень действует на газ,

(5.19)

В соответствии со вторым основным законом динамики эта сила равняется изменению импульса газа за единицу времени. За время dt, как было отмечено выше, в волновое движение вовлечены частицы газа в объеме v _зв dtS. Умножив этот объем на и мы найдем изменение импульса газа за промежуток времени dt. Поэтому изменение импульса газа в единицу времени равно С учетом этого мы можем записать равенство Подставляя сюда выражение для силы (5.19), получим

откуда

Эта общая формула определяет скорость звука, т.е. скорость распространения малых колебаний плотности в газах. В идеальном газе процессы сжатия и разрежения описываются уравнением адиабаты (5.15). Из этого уравнения следует

Учитывая, что где m – масса газа в объеме V, будем иметь

где – показатель адиабаты, – давление в отсутствие звука.

Поэтому скорость звука в идеальном газе равна

Так как где – температура газа, n₀ – плотность газа в отсутствие звука, равная (здесь – масса молекулы газа), то выражение для скорости звука можно представить в виде

Умножив числитель и знаменатель подкоренной дроби на число Авогадро, получим более удобное для практического пользования выражение

( – молярная масса). Эта формула показывает, что по порядку величины скорость звука в газе совпадает с тепловой скоростью его молекул. Вычисленная по этой формуле скорость звука хорошо совпадает с опытными данными.

Скорость поршня v совпадает, очевидно, со скоростью частиц газа в трубе. Эта величина связана с изменением давления Δ p соотношением (5.18). Учитывая, что получим отсюда

Входящая сюда величина называется акустическим сопротивлением. Скорость движения частиц среды имеет направление, либо совпадающее с направлением распространения звука, либо прямо противоположное ему. Поэтому звуковые волны в газах являются продольными волнами.