Геометрический рост популяции с дискретными поколениями (Geometric Growth with Discrete Generations)

Подобная модель пригодна для описания роста популяций множества видов растений и животных, для которых характерно сезонное размноже­ние. Особи в такой популяции представлены рядом когорт, все члены которых находятся на одной и той же онтогенетической стадии. Предполо­жим далее, что каждый временной интервал (например, год) начинается с появления новорожденных новой когорты и что, если они проживут достаточно долго, то произведут на свет новую когорту потомков в начале следующего временного интервала. Родители могут все погибать до начала размножения своих потомков (как у однолетних растений и множества беспозвоночных), или же некоторые из них могут выживать и повторно размножаться так, что возникает частичное перекрывание поколений (как у многих птиц и млекопитающих). В обоих случаях молодняк появляется почти синхронно группами, разделенными четкими интервалами. Подобный дискретный рост популяции лучше всего описывает следующее конечное разностное уравнение:

где N_t - величина популяции в момент t; b - рождаемость на 1 самку на 1 интервал; р - вероятность выживания особи за 1 интервал.

Определим выражение (р + рb) как новый параметр λ, отражающий совокупный эффект рождаемости и смертности и позволяющий рассчи­тать сумму числа выживших за интервал особей и их потомства. Тогда:

Параметр λ - это коэффициент геометрического роста (geometric growth rate), т.е. мера изменения величины популяции в течение дискрет­ного промежутка времени t. Если λ = 1, особи в популяции лишь замеща­ют друг друга, и размеры ее не изменяются. Если λ < 1, популяция будет уменьшаться до полного вымирания, а если λ > 1, она будет расти. До тех пор, пока λ остается постоянной, мы можем предсказать величину попу­ляции в любой последующий момент, зная первоначальную численность особей (N₀) и коэффициент роста (λ) и используя следующее уравнение:

(1)

Дискретный и независимый от плотности рост популяции совершенно аналогичен увеличению размера банковского вклада, где N₀ - это пер­воначальный вклад, λ - процент прироста и t- интервал, за который начи­сляется соответствующий процент. Рост популяции, как и вклада в банке, может быть изображен на графике в виде ступенчатой линии, каждая сту­пенька в которой соответствует величине временного интервала. В био­логическом контексте наиболее разумно использовать в качестве интервалов для описания геометрического роста продолжительность одного поколения. В этом случае значение λ совпадает с так называемой чистой скоростью размножения, обычно обозначаемой как R₀.