2015-09-06
2301
В п. 4.2 Были выведены соотношения, связывающие параметры на фронте ударной волны для совершенного идеального газа:
(4.40)
Для сильных ударных волн (практически сильными ударными волнами называются волны, для которых P2/P1 > 20, давлением P1 можно пренебречь по сравнению с давлением P4. В этом случае уравнения, связывающие параметры на фронте сильной ударной волны, принимают простой вид. Если в третьем уравнении системы (4.40), то есть в уравнении ударной адиабаты Гюгонио, в правой части разделить числитель и знаменатель не P2, то в пределе при P2 ® ¥ придем к выражению (4.15):
(4.41)
которое показывает, что плотность газа на фронте ударной волны действительно стремится к определенному конечному пределу, зависящему от величины k, то есть в конечном итоге от температуры на фронте ударной волны (см. п. 4.3 - 4.5).
Из первого и второго уравнений системы (4.40) следует выражение
(4.42)
которое в случае сильной ударной волны (пренебрегаем P1 по сравнению с P2) после дополнительных преобразований будет иметь вид
|
|
|
Из этого выражения получаем для давления на фронте сильной ударной волны
(4.43)
Из первого уравнения системы (4.40)
получаем
Учитывая соотношение (4.41), получим для массовой скорости в сильной ударной волне
(4.44)
Посмотрим теперь, что происходит с ударной волной на большом удалении от места ее возникновения.
В результате интенсивных необратимых энергетических потерь в ударной волне, а также вследствие дивергенции (расхождения) волны ее интенсивность с удалением от места возникновения падает, то есть при r ® ¥ DE ® 0, DP ® 0, D r ® 0.
Скорость ударной волны D, которая больше скорости звука в невозмущенной среде, где распространяется ударная волна, определяется соотношением
Величина D, когда интенсивность ударной волны сильно падает (P2» P1), становится равной скорости звука в невозмущенной среде с1. Это видно из соотношения для D2, если P2 ® P1, Dn ® 0:
|
|
Рис. 4.11
| Таким образом, ударная волна на большом удалении от места ее возникновения в пределе превращается в звуковую волну, при этом скорость ударной волны стремится в |
пределе к скорости звука (рис. 4.11).
Уравнение Гюгонио для ударной волны
в пределе при P2 ® P1 принимает вид
или 
Сравним полученное выражение с первым началом термодинамики
Очевидно, что полученное нами выражение для ударной волны в виде
dE + Pdn = 0
представляет собой первое начало термодинамики, в котором dS = 0 или S = const. Иными словами, ударная волна на большом расстоянии от места своего возникновения в пределе превращается в изоэнтропическую звуковую волну.
Удобно выразить основные параметры ударной волны u2, P2, r 2, как функции скорости звука с1 невозмущенной среды:
|
|
|
(4.46)
Опустим все выкладки, запишем эти выражения уже в конечном виде
(4.47)
Эти уравнения годятся и для сильных ударных волн (P2 >> P1, 1 >> c12/D2), и для слабых ударных волн (P2 » P1, c1 » D).
Для сильной ударной волны при условии, что 1 >> c12/D2 из уравнений (4.47) получим уравнения (4.41) и (4.44). Для слабой ударной волны, где 1» c12/D2, получим из уравнения (4.47)
P2 ® P1, u2 ® 0, r 2 ® r 1.
