Диск постоянной толщины

Расчет напряжений и деформаций в диске

Предположим, что выполняются следующие условия:

- диск (рис.1) достаточно тонкий, поэтому распределение напряжений по толщине можно принять равномерным. Напряженное состояние в диске двухосное, характеризуется радиальным напряжением и окружным напряжением ;

- температурное поле диска – плоское осесимметричное; температура диска зависит только от радиуса и постоянна по толщине диска;

- величины (модуль упругости) и (отношение размеров трещины и детали) постоянные для всего диска, их зависимостью от температуры пренебрегаем.

Рис.1 Тонкий диск (профиль и распределение температуры)

Диск равномерно вращается с угловой скоростью ; на внешней цилиндрической поверхности (при ) действуют равномерно распределенные по толщине напряжения , вызываемые центробежными силами обода и рабочих лопаток,

, (1)

где - шаг лопаток по окружности радиуса ; - центробежная сила одной лопатки; - центробежная сила обода диска, отнесенная к шагу (см. рис. 2), где сечение соответствует радиусу (на рис. 3); - поправочный коэффициент .

Рис.2 Схема Т-образного замкового соединения

При названных условиях необходимо определить распределение напряжений и по радиусу диска.

Для решения задачи следует составить уравнение равновесия и совместности деформаций и выбрать закон деформирования (закон Гука).

Рис.3 Схема нагружения элемента диска

На элемент диска, выделенный двумя цилиндрическими сечениями на радиусах и и двумя меридиональными плоскостями с углом между ними (рис.3), действуют поверхностные силы:

обусловленные напряжениями и , а также объемная сила (центробежная сила инерции) . Проектируя все названные силы на направление радиуса, проходящего через центр элемента, получаем

. (2)

Из курса сопротивления материалов известны соотношения

, (3)

где - радиальное и окружное относительное удлинения (деформации) в диске; - радиальное смещение на произвольном радиусе (рис.2).

Исключая смещение из первого соотношения (3) при помощи второго соотношения, получаем уравнение совмесности деформаций

. (4)

Уравнение равновесия (2) и совмесности (4) не зависят от закона деформирования материала и одинаково применимы как к упругому диску, так и в условиях упругопластических деформаций или ползучести.

Закон Гука при двухосном напряженном состоянии получим из зависимости (5), предположив, что .

(5)

Обозначим ; ; ; ; .

, (6)

где - деформация вдоль оси диска.

Подставив деформации из системы (6) в уравнение (4), получим уравнение совместности в виде

. (7)

Система уравнений (2) и (7) содержит две неизвестные величины и .

Решение системы позволит определить искомые напряжения, которые должны удовлетворить граничным условиям:

, (8)

где - давление посадки диска на валу.

Таким образом, на границах (на расточке диска и периферии радиальное напряжение должно иметь заданные значения.

В общем случае, когда диск имеет переменную толщину , необходимо применение численных методов для решения полученной системы уравнений. Рассмотрим частный случай диска постоянной толщины, для которого существует простое аналитическое решение.

Диск постоянной толщины

Полагая , из (2) имеем

. (9)

Для получения общего решения уравнений (9) и (7) умножим уравнение (9) на и сложим с уравнением (7).

Тогда

. (10)

Интегрируем последнее уравнение

, (11)

где 2 А – постоянная интегрирования.

Умножим все члены уравнения (10) на и сложим левые и правые части (9) для исключения . После преобразования получим уравнение относительно одной переменной

В результате интегрирования последнего уравнения получаем

; (12)

, (13)

где В – вторая постоянная интегрирования.

Теперь из уравнения (10) учитывая (11), находим и :

; (14)

. (15)

Формулы (12) и (14) представляют собой общее решение для напряжений в диске постоянной толщины. Постоянные интегрирования А и В должны быть найдены из граничных условий (8)на периферии и на расточке диска.

Рассмотрим отдельно динамические и температурные напряжения. Вследствие линейности задачи суммарные напряжения в диске, очевидно, равны алгебраической сумме динамических и температурных напряжений.

Динамические напряжения в диске постоянной толщины без центрального отверстия

Граничные условия

. (16)

Первое граничное условие из (16) означает, что в центре диска без центрального отверстия радиальное и окружное напряжения совпадают вследствие того, что исчезает различие между окружным и радиальным направлениями.

Применяя условия (16) к решению (12) (при , получаем