Расчет напряжений в диске произвольного профиля на основе решения для диска постоянной толщины

Для напряжений во вращающемся неравномерно нагретом диске зависимости (12) и (14) запишем в виде

, (30)

где .

Эти соотношения можно использовать для диска произвольного профиля, заменяя его диском со ступенчатым профилем (рис. 7). Диск ступенчатого профиля состоит из участков постоянной толщины.Для каждого из участков справедливо решение (30) со значениями постоянных и .

Рис. 7 Схема разбиения диска произвольного профиля

На каждом стыке двух смежных участков должны быть выполнены условия сопряжения. Первым условием является условие равновесных сил, приложенных к бесконечно тонкому слою, включающему стык (рис. 8) т.е.

или

, (31)

где - радиальное напряжение и толщина диска до скачкообразного изменения толщины; - то же после скачкообразного изменения толщины.

Рис. 8 Сопряжение двух участков диска

Вторым условием сопряжения двух участков на стыке является условие равенства радиальных смещений в месте стыка

, (32)

где - радиальное смещение до скачкообразного изменения толщины; - радиальное смещение после скачкообразного изменения толщины.

Поделив обе части равенства (32) на радиус стыка. Получим (по обе стороны стыка). Выразим деформации через напряжения согласно (5). Учитывая, что температурные деформации не могут изменяться скачкообразно. Условие равенства радиальных смещений (32) представляем в виде

, (33)

где - окружные напряжения в месте стыка соответственно после и до скачкообразного изменения толщины.

Число условий сопряжения (31) и (32) равно . Если диск разбит на участков, то всего стыков будет , и на каждом стыке действительны два условия сопряжения. Кроме этих условий, следует учитывать граничные условия (7). Всего, таким образом, имеется условий. Во всех условиях сопряжения и в граничных условиях (7) заменяем их выражениями через постоянные и согласно формулам (30). В результате получим систему из линейных уравнений неизвестными величинами и . Решение этой системы позволит получить все значения постоянных и по формулам (30) рассчитать напряжения во всех точках диска и тем самым решить поставленную задачу.

Рассчитать напряжения в диске произвольного профиля можно. Применив метод двух расчетов. Этот метод основан на отыскание по зависимостям (30) двух фундаментальных систем напряжений, удовлетворяющих условиям сопряжения (31) и (33). При наложении этих двух систем с ведением некоторого постоянного множителя имеем действительное распределение напряжений, удовлетворяющее обоим граничным условиям (7).

Для удобства дальнейшего изложения обозначим

(34)

где - вспомогательные величины (условные напряжения).

Равенство (30) запишем в виде

. (35)

Для первого из названных расчетов принимаем действительное (заданное) значение и произвольное окружное напряжение на периферии .

Составляем условия на периферии диска исходя из (35), т.е. при имеем:

. (36)

где - известные числа, полученные из равенства (34) для .

Согласно (36) найдем постоянные и для первого участка диска (нумерация идет от периферии к центру):

. (37)

По найденным значениям и определим напряжения в любой точке первого участка и, в частности, на его второй границе при , т.е.

. (38)

Верхним индексом обозначены значения напряжений до скачкообразного изменения толщины в сечении, где .

Для определения напряжений после скачкообразного изменения толщины используем формулы (31) и (33). Имеем

Эти напряжения являются начальными для второго участка. По найденным значениям и определяем и по зависимостям (34) и составим соотношения для второго участка, т.е.

. (39)

Аналогично предыдущему определим постоянные и для второго участка

. (40)

По значениям и найдем напряжения в любой точке второго участка и. в частности, на его второй границе при и т.д. В результате рекуррентного расчета по описанной методике определяют систему напряжений в диске, доходят до расточки при и для нее получают некоторые значения напряжений . Верхний индекс означает «напряжения первого расчета». Вообще , т.е. полученные значения напряжений не удовлетворяют граничному условию на расточке, так как при выполнении первого расчета произвольно было принято значение окружного напряжения на периферии .

Для удовлетворения второму граничному условию (на расточке) выполняют второй расчет при (любое число); .

Второй расчет выполняют по той же самой методике, как и первой, но по уравнениям (30) без учета вращения и неравномерного нагрева.

В результате проведения второго расчета получим вторую систему напряжений и, в частности, напряжения на расточке, т.е. . Верхний индекс означает «напряжения второго расчета».

Составим систему напряжений

. (41)

Система напряжений (41) удовлетворяет граничному условию на периферии диска при произвольно выбранном значении постоянного множителя k, который введен для того, чтобы можно было удовлетворить второму граничному условию (на расточке диска). Подчиняя первое уравнение системы (41) условию , получаем

. (42)

Согласно (42) корректирующий множитель:

. (43)

Все величины правой части равенства (43) известны и теперь соотношения (41) позволяют получить распределение напряжений в диске, удовлетворяющее обоим граничным условиям.

Описанный метод двух расчетов запрограммирован для ЭВМ, программа приведена в [1].

На основе двух найденных фундаментальных решений – первой и второй систем напряжений – найдем решение двух частных задач, необходимых для дальнейшего рассмотрения.

Первая задача: определение напряженного состояния свободно вращающегося равномерно нагретого диска без контактного давления на расточке при произвольной угловой скорости.

По граничному условию на расточке из (43) имеем . предположим, что первый расчет выполнен при .

Согласно (41) имеем напряжения:

, (44)

где - напряжения в свободно вращающемся диске при - расчетная угловая скорость диска.

При изменении угловой скорости лопаточная нагрузка (напряжение ) и напряжения в диске изменяются пропорционально . поэтому при любой угловой скорости

. (45)

Полученные соотношения (45) являются решением первой задачи. Верхний индекс означает, что напряжения вызваны вращением.

Вторая задача: определение напряжения в не вращающемся диске при под действием произвольного контактного давления на расточке, когда . Решение получим из системы (41), где ; величину определим из условия (43) .