Задачи на законы Ньютона

Автор: – Для начала дадим несколько общих рекомендаций. Сначала следует расставить все силы, действующие на тело. Если векторы сил не коллинеарны, то их удобно разложить на два взаимно перпендикулярных направления и рассмотреть составляющие сил отдельно для каждого из этих направлений. Чтобы не запутаться при выполнении разложения сил рекомендую силы изображать на чертеже крупным планом, не мельчить. Помните, что после того как Вы разложили какую-нибудь силу, в дальнейшем пользуйтесь её составляющими, а не ей самой. Или сама сила, или её составляющие.

Студент: – А по какому принципу выбирают направления разложения?

Автор: – При выборе направлений разложения надо обратить внимание на характер движения. Возможны два варианта: 1) тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, 2) тело движется ускоренно, причем направление ускорения известно (по крайней мере, с точностью до знака).

В первом случае можно произвольно выбирать направления разложения. Во втором следует разлагать силы на направления вдоль ускорения и перпендикулярно ему. При этом алгебраическая сумма составляющих сил на направление, перпендикулярное ускорению, приравнивается к нулю, а алгебраическая сумма составляющих сил на направление вдоль ускорения, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы тела на ускорение.

Рассмотрим следующую задачу 2.2.

Определить горизонтальную силу F, при действии которой тело, находящееся на наклонной плоскости, будет равномерно перемещаться вверх. Коэффициент трения скольжения k и угол α известны.

а)

б)

Рис.2.7.1

Решая эту задачу, удобно выбрать вертикальное и горизонтальное разложения (случай а). Можно направить оси координат вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей (случай б). Напишем системы уравнений для обоих случаев.

.

.

Студент: – Эти системы отличаются.

Автор: – Но имеют одинаковые решения. Учитывая, что F _тр=k N, находим

.

Из первого уравнения этой системы находим N =G(cosα– k sinα) ^–1.

Подставляя этот результат во второе уравнение, получаем ответ:

◄ F =G ►.

Такой же результат получается при решении второй системы.

Студент: – Давайте разберем пример, когда тело движется с ускорением. Насколько я понял, в этом случае нельзя производить разложения сил на направления, отличные от направлений вдоль ускорения и перпендикулярно ему.

Автор: – Должен уточнить, даже при наличии ускорения Вы в праве разлагать силы на любые направления. Но тогда придется производить разложение не только сил, но и вектора ускорения. При таком способе решения Вам, как правило, встретятся дополнительные трудности.

Студент: – Почему-то мы говорим все время о разложении на два направления. Хотя в общем случае, наверное, следует рассматривать три взаимно перпендикулярных направления? Ведь пространство трехмерное.

Автор: – Вы правы. Два направления мы рассматриваем пока для простоты. В общем случае надо разлагать на три направления. При этом все действия, отмеченные выше, сохраняются. Теперь разберем задачу 2.3 на исследование движения.

Два тела m ₁ и m ₂, связаны нитью перекинутой через блок. Тело m₁ находится на наклонной плоскости с углом наклона α, коэффициент трения о плоскость равен k. Тело m₂ висит на нити. Найти ускорение системы. Для начала вспомните, пожалуйста, правила нахождения силы трения.

Студент: – Если тело движется, то сила трения определяется через силу реакции опоры и коэффициент трения F=kN, называется эта сила – сила трения скольжения. Если же тело покоится, то сила трения равна по модулю той силе, которая стремится вывести тело из состояния покоя и называется силой трения покоя. Но Вы ничего не сказали о движении системы: в зависимости от соотношения масс она может двигаться как вправо, так и влево, а может вообще покоиться.

Рис.2.7.2

Автор: – Для выяснения характера движения необходимо исследовать все возможные ситуации. Начните с того, что произвольно предположите какое-нибудь движение.

Студент: – Хорошо, допустим, что система движется слева направо.

Получаем систему уравнений

m ₁ а = T – m ₁ g sinα – F _тр, где F _тр = km ₁ g cosα

m ₂ а = m ₂g – T.

Исключая Т, находим:

а =g .

Если предположить, что система движется в противоположном направлении, то получим результат

а₁ =g .

Автор: – Введите безразмерный параметр Z= m₂/m₁ и исследуйте знаки полученных выражений.

Студент: – Для выполнения условия а>0 (наше первое предположение) необходимо, чтобы Z > sinα+ k cosα. В этом случае система действительно будет двигаться вправо.

А движение влево произойдет при а₁>0, т.е. Z < sinα– k cosα.

Автор: – Здесь уместно еще одно замечание: по смыслу задачи Z >0, значит, tgα>k. Если это условие не выполнится, то, как бы ни был мал параметр Z, система не будет двигаться справа налево.

◄Итак, если tgα> k, то тела покоятся при выполнении условия:

sinα– k cosα<Z< sinα+ k cosα. Если Z > sinα+ k cosα, то

а =g .

Если Z < sinα– k cosα, то а₁ =g .

Если tgα< k, то система покоится при Z< sinα+ k cosα►.

И один дополнительный вопрос. Постарайтесь ответить на него, не решая задачи. Пусть вместо груза m ₁ слева подсоединили "цепочку" из трех брусков m ₃, m ₄, m ₅. Для определенности примем, что система смещается вправо. Каково ускорение?

Студент: – Я догадался, что всю совокупность масс m ₃, m ₄, m ₅ можно представить как тело с единой массой М= m₃+ m₄+ m₅ и воспользоваться уже полученным результатом:

а =g .

Автор: Все правильно. В дальнейшем советую выяснять, не сводится ли задача к уже решенной и хорошо известной Вам, хотя бы в каком-то частном случае.

История. Одна знакомая попросила Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что номер трудно запомнить: 24361.

– И чего же тут трудного?! – удивился Эйнштейн. – Две дюжины и 19 в квадрате.