2015-10-16
301
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отдельные точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R и за бесконечно малый промежуток времени dt совершает поворот на угол 
(малый поворот рассматривается как вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление подчиняется правилу правого винта (рис.1)).
Угловой скоростью 
называется векторная физическая величина, определяемая первой производной угла поворота по времени:
.
Вектор 
, как и вектор 
, направлен вдоль оси вращения и подчиняется по правилу правого винта (рис.1). Рис.1
Угловым ускорением 
называется векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:
.
При ускоренном движении вектор 
сонаправлен с (рис.2, а), при замедленном – противонаправлен (рис. 2, б).
а
|
б
|
Рис.2.
Моментом инерции I материальной точки называется скалярная физическая величина, определяемая произведением ее массы m на квадрат радиуса окружности r, по которой она может двигаться относительно заданной оси вращения ОО' (рис.3, а).
|
|
|
Если твердое тело, вращающееся относительно некоторой заданной оси ОО', представить в виде системы материальных точек массой dm, и просуммировать моменты инерции этих, так называемых, элементарных масс, то получим
момент инерции всего тела Рис.3.
,
здесь ri – радиус вращения i – той элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 3, б). Для однородных тел, для которых плотность 
(где m – масса тела, а V – его объем, т.е. плотность определяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формуле
.
|
, где m - масса тела, d - расстояние между осями (рис. 4).
|
Моментом силы 
относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора 
, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу 
(рис.5): 
.
Модуль момента силы равен 
, где α – угол между 
и 
, 
- плечо силы 
(l - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы (рис. 5)).
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: 
, то есть направление 
совпадает с направлением 
(рис. 4). Моментом силы Mz относительно неподвижной оси ZZ' называется проекция этого момента на данную ось.
Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки массы m при поступательном движении со скоростью V определяется, как известно, формулой Ек = 
. При вращательном движении роль массы m выполняет момент инерции I, а вместо скорости V выступает угловая скорость ω, и формула кинетической энергии при вращатель-ном движении материальной точки приобретает вид: Eк вращ = 
.
|
|
|
Потенциальная энергия измеряется работой, которую тело может совершить при перемещении его из одного пространственного положения в другое. Так, потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли
Eпот = mgh. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины Епот = 
, где k – коэффициент упругости, х – деформация пружины. Потенциальная энергия при закручивании стержня Епот = 
, где D – константа, зависящая от упругих свойств стержня при его кручении (так называемый модуль кручения), α о – угол деформации при закручивании.
Закон сохранения механической энергии гласит: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, возможны лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Напомним, что консервативными называют силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю. Так, при закручивании упругого стержня (нити) закон сохранения энергии может быть записан как 
.
