Примеры решения задач

Задача 1. Тело брошено вверх под углом a = 60° к горизонту с начальной скоростью u₀ = 30 м/с (рис. 3.1). Определить скорость тела через время t = 2 с, тангенциальное ускорение в этот момент времени и полное время движения тела.

Решение. Систему отсчета связываем с Землей. Начало системы координат помещаем в точку, из которой тело начинает движение. Ось ОУ направляем вертикально вверх, ось ОХ горизонтально. Зависимость вектора скорости от времени имеет вид . Запишем проекции вектора по осям ОХ: uХ = uОХ; ОУ: uУ = uОУ – gt,где uОХ = uО cosa, uОУ = uО sina.

Найдем модуль вектора скорости в соответствии с чертежом (рис. 3.1)

. (3.3)

Угол наклона b вектора к горизонту определим через

tgb = u_У /u_Х. (3.4)

Подставив числовые данные в (3.3) и (3.4), получим:

;

.

Как видно из чертежа (рис. 3.1), тангенциальное ускорение: . Для нахождения полного времени движения t_П используем уравнение координаты у = у₀ + Sу. Так как у₀ = 0 и у = 0, то и Sу = 0. Зависимость вектора перемещения от времени имеет вид

. (3.5)

Проекция вектора на ось ОУ: . Из этого соотношения, подставив S_У = 0, найдем:

. (3.6)

Выполним расчет: .

Ответ: .

Задача 2. Тело брошено вниз под углом a = 30° к горизонту с начальной скоростью u₀ = 20 м/с. Определить проекцию вектора перемещения на ось ОХ и радиус кривизны траектории через t = 0,5 с.

Решение. Зависимость вектора перемещения от времени имеет вид . (3.7) Проекция вектора на ось ОХ: . Рассчитаем SХ: .

Для определения радиуса кривизны траектории в точке А воспользуемся формулой , где u – модуль скорости тела в точке А, – центростремительное (нормальное) ускорение. Зависимость вектора скорости u от ее проекций u_Х и u_У: , где u_Х = u_О cosa, u_У = u_О sina + gt. Центростремительное ускорение, как видно из рис. 3.2, .

Угол b выразим через u и u_Х: sinb = u_Х / u. Произведем расчеты:

Ответ: S_X = 8,66 м; R = 46,6 м.