Задача 4

Для ступенчатого стального бруса (рис.24) требуется:

1. Построить эпюру продольной силы N по длине бруса.

2. Подобрать площадь поперечного сечения А при расчётном сопротивлении материала R=240 МПа.

3. В соответствии с принятой площадью построить эпюру нормальных напряжений s.

4. Определить абсолютную деформацию бруса, если Е=2 ^. 10⁵ МПа, F₁=200 кН, F₂=640кН.

Решение:

1. Определение продольной силы на всех участках бруса и построение эпюры N.

Расчёт защемлённого бруса целесообразно начинать со свободного конца, так как при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки.

Разбиваем брус на два участка ВД И ДК (рис. 24а), границами участков являются сечения, где приложены внешние силы. Пользуясь методом сечений мысленно разрезаем брус по сечению 1-1, которое проводим в любом месте участка ВД. Левую часть бруса отбрасываем, заменяя её действие неизвестной продольной силой N₁, направленной в сторону отброшенной части. Составляем уравнение равновесия правой части.

∑F_z = 0; - N₁ – F₁ = 0.

Откуда N₁ = - F₁ = - 200 кН (участок сжат).

Аналогично для сечения 2-2.

∑F_z = 0; - F₁ + F₂ – N₂ = 0.

N₂ = - F₁ + F₂ = - 200 + 640 = 440 кН (участок ДК растянут).

Строим эпюру продольной силы N. Для этого проводим параллельно оси бруса, базовая линию (ось эпюры) и откладываем перпендикулярно ей в выбранном масштабе найденные значения N (рис.24г): положительные выше базисной линии, отрицательные ниже. Построенную эпюру заштриховываем линиями, перпендикулярными оси. По этим линиям можно судить о значении продольной силы в соответствующих поперечных сечениях бруса. Кроме того, из эпюры N видно, что реакция заделки равна 440 кН и направлена влево.

рис. 24

2. Требуемая площадь поперечного сечения на участке СВ.

A₁ ≥ ≥ ^. 10⁴ ≥ 8,33 см²

N₁ = 200 Кн = 200 ^. 10^-3 МН

1 м² = 10⁴ см²

R = 240 Мпа = 240

Требуемая площадь поперечного сечения на участке КД.

2А₂ ≥ ≥ ^. 10⁴ ≥ 18,33 см²

Отсюда А₂ ≥ ≥ 9,17 см²

Из двух найденных значений А₁ ≥ 8,33 см² и А₂ ≥ 9,17 см² берём большее.

Площадь А = 9,17 см².

3. Определяем напряжения на участках в соответствии с принятой площадью А=9,17 см².

Брус разбиваем на три участка: ВС, СД и КД, границами участков будут не только сечения, где приложены силы, но и сечения, где меняются поперечные размеры бруса (сечение С, рис.24а).

s₁ = s_СВ = - = = - 248 Мпа

А = 9,17 см² = 9,17 ^. 10^-4 м²

s₂ = s_СД = - = = - 109 МПа

s₃ = s_КД = = = 240 Мпа

Эпюра нормальных напряжений представлена на рис.24d. На каждом участке она изображается отрезком, параллельным базовой линии. Она строится по такому же принципу, как и эпюра продольных сил. Каждая её ордината характеризует в принятом масштабе значение напряжения в соответствующем поперечном сечении бруса.

4. Определим абсолютную деформацию бруса.

∆l =∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃ = + + = ^. (s^{1 .} l₁ + s₂ ^. l₂ + s₃ ^. l₃) =

= ^. (- 218 ^. 1,8 – 109 ^. 0,6 + 240 ^. 1) = - 0,0011 м = - 1,1 мм.

Брус укоротился на 1,1 мм.