Условие прочности (2.21) даёт возможность проводить три вида расчетов:
– проверочный – по известным размерам и материалу стержневого элемента (заданы площадь сечения А и [σ]) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку (N):
; (2.24)
– проектировочный – по известным нагрузкам (N – задано) и материалу элемента, т. е. по известному [σ], подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:
; (2.25)
– определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А – задано) и материалу элемента конструкции, т. е. по известному [σ], найти допускаемую величину внешней нагрузки:
. (2.26)
Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости (2.22) и формулы (2.10) при растяжении:
. (2.27)
Величина допускаемой абсолютной деформации [∆ l ] назначается отдельно для каждой конструкции.
Аналогично расчётам по условию прочности условие жёсткости также предполагает три вида расчётов:
– проверка жёсткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия (2.22);
|
|
– расчёт проектируемого стержня, т. е. подбор его поперечного сечения:
; (2.28)
– установка работоспособности данного стержня, т. е. определение допустимой нагрузки:
. (2.29)
Прочностной анализ любой конструкции содержит следующие основные этапы:
1. Определение всех внешних сил и сил реакций опор.
2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня.
3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.
4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жёсткости.
Пример 2.1. Для стального стержня, изображённого на рис. 9а, определить во всех поперечных сечениях продольную силу N и напряжение σ. Определить также вертикальные перемещения δ для всех поперечных сечений стержня. Результаты изобразить графически, построив эпюры N, σ и δ. Известно: F1 = 10 кН; F2 = 40 кН; А1 = 1 см2; А2 = 2 см2; l1 = 2 м; l2 = 1 м.
Решение. Для определения N, используя метод РОЗУ, мысленно разрезаем стержень по сечениям I−I и II−II. Из условия равновесия части стержня ниже сечения I−I (рис. 9.б) получим (растяжение). Из условия равновесия стержня ниже сечения II−II (рис. 9в) получим
,
откуда (сжатие). Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил (рис. 9г). При этом растягивающую силу считаем положительной, сжимающую − отрицательной.
Напряжения равны: в сечениях нижней части стержня (рис. 9б)
|
|
(растяжение);
в сечениях верхней части стержня
(сжатие).
В выбранном масштабе строим эпюру напряжений (рис. 9д).
Для построения эпюры δ определяем перемещения характерных сечений В−В и С−С (перемещение сечения А−А равно нулю).
Сечение В−В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть сжимается:
(вверх).
Перемещение сечения, вызванное растяжением, считается положительным, вызванное сжатием – отрицательным.
Перемещение сечения С−С является алгебраической суммой перемещений В−В (δВ) и удлинения части стержня длиной l1:
.
В определённом масштабе откладываем значения и , соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсцисс сечений стержня, и получаем график (эпюру) перемещений (рис. 9е). Из эпюры видно, что некоторое сечение D–D не перемещается. Сечения, расположенные выше сечения D–D, перемещаются вверх (стержень сжимается); сечения, расположенные ниже, перемещаются вниз (стержень растягивается).
Вопросы для самоконтроля
1. Как вычисляются значения продольной силы в поперечных сечениях стержня?
2. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?
3. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого (сжатого) стержня и чему они равны?
4. Как строится эпюра нормальных напряжений при растяжении (сжатии)?
5. Что называется абсолютной и относительной продольной деформацией? Их размерности?
6. Что называется жёсткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?
8. Как формулируется закон Гука?
9. Абсолютная и относительная поперечные деформации стержня. Коэффициент Пуассона.
10. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?
11. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?
12. Назовите механические характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов.