Моменты инерции сечения

Осевыми моментами инерции сечения (рис. 3.1) относительно осей x, y называются интегралы вида:

. (3.6)

Осевые моменты инерции всегда положительные.

Центробежный момент инерции сечения относительно осей x, y представляет собой интеграл вида:

. (3.7)

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Если сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно координатных осей, одна из которых есть ось симметрии, равен нулю.

Полярный момент инерции сечения определяется интегралом вида:

, (3.8)

где ρ − расстояние от начала принятой системы осей координат до элементарной площадки dA ,

поэтому полярный момент инерции сечения есть сумма осевых моментов инерции:

. (3.9)

Размерность моментов инерции – линейный размер в четвёртой степени (мм⁴, см⁴, м⁴).

Осевые моменты инерции площади сложного сечения относительно некоторой оси равны алгебраической (моменты инерции фигур отверстий в сечении принимаются со знаком минус) сумме осевых моментов инерции отдельных частей сечения, определённых относительно этой же оси.

При параллельном переносе осей координат (в случае, если исходные оси координат – центральные (рис. 12)) моменты инерции относительно новых осей равны:

, (3.10)

где – моменты инерции сечения относительно центральных осей .

Минимальные значения моментов инерции получаются относительно центральных осей.

Моменты инерции произвольного сечения при повороте системы координат на угол α изменяются (рис. 13). Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент равен нулю, называются главными. Осевые моменты относительно главных осей называются главными моментами инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными.

Положение главных осей относительно произвольной первоначальной системы координат определяется углом α₀, определяемым по формуле:

. (3.11)

Осевые моменты инерции (экстремальные) относительно главных осей определяют по формуле:

, (3.12),

где − моменты инерции сечения относительно осей произвольно выбранной прямоугольной системы координат Oxy.

Знак «+» в формуле (3.12) относится к определению максимального значения, а «–» – минимального.

Складывая максимальное и минимальное значения осевых моментов инерции, находим

, (3.13)

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.