Статические моменты площади

Пусть имеется сечение произвольной формы (рис. 10). Статическими моментами площади А относительно осей x, y соответственно называются интегралы по площади сечения вида:

(3.1)

Размерность этих характеристик – линейный размер в кубе (мм³, см³, м³).

Через введённые понятия статических моментов определяется центр тяжести сечения – точка О_с с координатами :

. (3.2)

Оси координат х_сО_су_с, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Статические моменты площади сечения относительно центральных осей равны нулю .

Оси симметрии площади сечения являются центральными осями.

На практике часто приходится рассматривать сложные сечения, состоящие из нескольких простых фигур. Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен алгебраической сумме (статические моменты отверстий в сечение принимаются со знаком минус) статических моментов отдельных частей сечения, определённых относительно этой же оси. В этом случае координаты центра тяжести сложной фигуры находят по формулам:

, (3.3)

где A_i, x_i, y_i – соответственно площадь и координаты центра тяжести каждой из составляющих фигур (i = 1, 2,... п);

п – число фигур.

Для определения центра тяжести сложной фигуры необходимо:

1. Выбрать систему координат xOy.

2. Разбить сложное сечение на части, имеющие вид простых фигур (прямоугольник, треугольник, полукруг и т. д.).

2. Определить площади и положения (координаты) центров тяжести простых фигур относительно осей выбранной системы координат.

3. По формулам (3.1) вычислить статические моменты каждой фигуры относительно x и y.

4. Алгебраическим суммированием (статические моменты фигур, являющиеся отверстием, берутся со знаком минус) определить суммарные статические моменты.

5. Определить общую площадь сечения (площади отверстий вычитаются)

6. По формулам (3.3) определить координаты центра тяжести сечения.

При параллельном переносе осей координат (рис. 11) статический момент площади изменяется на величину, равную произведению площади сечения на расстояние между осями:

(3.4)

. (3.5)

Статические моменты возрастают с увеличением расстояния от центральных осей, относительно которых они равны нулю.