Эмпирическая функция распределения

Известно, что функция распределения

F(x)=P(X<x),

Используя теорему сложения вероятностей, изменяя теоретические вероятности P_i, на их оценки n_i получим эмпирическую функцию распределения для случая дискретной исследуемой случайной величины.

В случае непрерывной исследуемой случайной величины при извлечении выборки для случайного события A_i, имеем опять классическую схему Бернулли, поэтому теоретическая вероятность события A_i, определяемое в теории вероятности как P_i=F(y_i)-F(y_i- 1 ) оценивается относительной частотой n_i попадания точки выборки в i -тый класс. Перепишем эту вероятность середины i -класса, т.е. значение возьмем и далее строим эмпирическую функцию также как для случая дискретной случайной величины.

Полученная таким образом функция, является оценкой теоретической функции распределения F(x). Из теоремы Бернулли следует, что F_n(x) сходится по вероятности при объеме выборки , т.е. для любого e >0 и для любого x.