Дисперсия вариационного ряда, ее свойства

()-отклонение вариантов от среднего значения.

Дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней.

;

- среднее квадратическое отклонение.

Пример Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение распределения рабочих предприятия, по времени, затраченному на обработку одной детали.

xi	ni	xi¢		x i¢-	(x i¢- )2	(xi¢- )2×ni
2-4 4-6 6-8 8-10 10-12				-4,4 -2,4 -0,4 1,6 3,6	19,36 5,76 0,16 2,56 12,96	813,12 420,48 24,64 524,8 336,96
Итого:

Свойства дисперсии.

1. Если все варианты увеличить или уменьшить в k -раз, то дисперсия увеличится или уменьшится k ²-раз.

Пример: Вычислить дисперсию распределения рабочих цеха№2 по заработной плате.

;

Разделим варианты на их общий делитель равный 5, ;

Тогда вычитать будем 21 от соответствующих значений.

xi	xi/5	xi/5-21	ni	(xi/5-21)2	(xi/5-21)2× ni
		-6 -4 -2
Итого:

2. Если варианты увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то дисперсия не изменится.

3. Если веса увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то дисперсия не изменится.

Пример: Вычислить дисперсию цеха №3 рабочих по средней заработной плате. Разделим частоты на их наибольший общий числитель 4.

xi	ni	xi -	(xi - )2	(xi - )2× ni
		-20 -10

;

;

4. Дисперсия относительно средней арифметической, равна дисперсии относительно произвольной постоянной, без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной.

;

Пример: Найти дисперсию распределения рабочих цеха№1 по заработной плате.

x i	xi -95	(xi -95)2 ni	n
	-20 -10	- -	- -
Итого:

;

.

5. Дисперсия равна средней арифметической квадрата варианта без квадратов средней арифметической.

;

Пример: Дано распределение рабочих по числу изготавливаемых деталей.

x i	ni	xi ×ni	xi 2	xi 2× ni
Итого:

; ;

;

Пусть совокупность разбита на l -непересекающихся групп. Групповой дисперсией называется дисперсия членов j -той группы относительно их средней групповой .

, m_lj - частоты вариантов в группе.

- объем группы.

Дисперсия распределения по тому же признаку всей совокупности относительно общей средней называется общей дисперсией.

Межгрупповой дисперсией называется средняя арифметическая квадратов отклонений групповых средних всех непересекающихся групп, от общей средней .

;

где N_j - объем групп;

.

Пример: Вычислить межгрупповую дисперсию рабочих по заработной плате и по цехам.

	Nj		2	2× Nj
		-15
Итого:

;

Средней групповых дисперсий называется средняя арифметическая групповых дисперсий:

;

Определить среднюю групповых дисперсий распределения рабочих по заработной плате и по цехам.

	N j		× Nj
		200/3
Итого:

.