double arrow

Собственная случайная величина для определения доли


Пусть генеральная совокупность содержит N членов, из которых M обладает некоторым признаком A , тогда генеральная доля.

Для оценки этой неизвестной генеральной доли образуется повторная выборка n, возвращая каждый отобранный член обратно, восстанавливают первоначальный состав генеральной совокупности, поэтому результат отбора любого члена в выборку не влияет на результаты последующих отборов, т.е. выполняется условие схемы независимых испытаний, в каждом из этих испытаний могут появиться или не появиться члены, обладающие признаком A с вероятностями

и q=1-p не появится.

Следовательно, случайные величины z1,z2,…,zn , выражающие число членов с признаком A при отборе 1-го, 2-го , n-го члена выборочной совокупности являются независимыми и одинаково распределенными, причем каждый из них с указанными вероятностями может принимать лишь 2 значения - 1 или 0.

Таким образом, закон распределения выборочной доли z, повторной выборки n -это есть

;

Она является суммой из n независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих абсолютные центральные моменты 3-го порядка, поскольку каждый принимает лишь 2 значения. На основании следствия теоремы Ляпунова выборочная доля повторной выборки достаточно большого объема n распределена по нормальному закону, математическое ожидание , а дисперсия .

Рассмотрим бесповторную выборку объема n, образованную из этой же генеральной совокупности. Обозначим через U1,U2,…,Un случайные величины, которые выражают число членов с признаком A . При этом отборе первого, второго, n -членов выборочной совокупности, каждая их них может принимать лишь 2 значения - 1и 0.

Если i-член обладает признаком ,то 1, не обладает -0, .

Условие при отборе 1-го члена повторной и бесповторной выборки одинаковы, следовательно, закон распределения случайной величины U1 такой же как у случайных величин zi . Покажем, что такой же закон распределения имеет и случайная величина U2, для нахождения вероятности того, что U2=1 используют формулу полной вероятности, роль события Ai играют два события U1=1, U1=0, а искомое событие U2=1.

Вероятность:

Условная вероятность:

.

Вероятность того, что случайная величина примет значение 0, т.е. будет находиться по правилу: .

Закон распределения случайных величин U1 и U2 совпадают. Аналогично рассмотрев большое число возможностей , можно показать, что тот же закон распределения и случайной величины U3,U4,…,Un . Эти величины одинаково распределены и их математические ожидания равны генеральной доле p, а дисперсии равны p×q .

Отличие бесповторной выборки от повторной состоит в том, что случайные величины Ui , зависимые, каждая зависит от предшествующих ей случайных величин. Выборочная доля бесповторной выборки- это среднее арифметическое .




Выборочная доля U бесповторной выборки распределена по нормальному закону, хотя величины Ui -зависимые. Найдем параметры этого закона математического ожидания и дисперсии случайной величины U . Математические ожидания случайной величины Ui одинаковы, они равны генеральной доли P. Математическое ожидание выборочной доли в соответствии с теоремами математического ожидания также будут равны генеральной доли P, M[U]=P.

Найдем дисперсию выборочной доли D[U] ,т.к. U есть сумма , то дисперсию находим от суммы

применим правило нахождения дисперсии:

. (1)

Поскольку случайные величины Ui распределены одинаково, также распределены одинаково и их квадраты , поэтому достаточно математическое ожидание квадрата одной из них Ui , учитывая определение квадрата случайной величины.

;

;

Случайная величина также может принимать значения лишь 1 и 0 , значение 1 она принимает, если и примут значения 1, а 0 в остальных случаях, тогда по теореме умножения вероятностей для зависимых событий

;

Т.к. вероятность того, что случайная величина Uj примет значение 1 при условии , что величина Ui приняла значение 1 , равна отношению

Вероятность того, что случайная величина примет значение 0 согласно правилу нахождения вероятности противоположного события будет равна

Таким образом , математическое ожидание случайной величины составит

Второе слагаемое в равенстве 1 представляет собой сумму одинаковых слагаемых



;

;

;

Т.к., , то различие n(N-1) практически неощутимо , поэтому 1 опустим и разделим почленно на n.

(2)

при повторном и бесповторном отборе элементов в выборку, выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли.

Из формулы 2 видно, что при увеличении числа наблюдений дисперсия выборочной доли становится как угодно малой, а вероятность события , как угодно близко к 1 ,т.к. эта вероятность равна значению функции Лапласа -становится большой при значении >5.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: