Оценка для математического ожидания и дисперсии

Пусть величина x имеет математическое ожидание M[x]=m и дисперсию причем оба параметра неизвестны, требуется найти состоятельные и несмещенные оценки этих параметров по результатам n -независимых испытаний, в которых величина x приняла значения x₁,x₂,…x_n.

Составим функцию (оценку) как:

(2)

покажем, что эта оценка несмещенная, т.е. мы найдем по (1) свойству:

;

- несмещенная оценка.

Оценка состоятельная:

lim ;

n

lim ;

n

lim ;

n

lim ;

n

Эта оценка является состоятельной в силу закона больших чисел, т.е.

lim ;

n

Равенство (2) называется выборочной средней, если

x₁,x₂,…x_n

n₁,n₂,…n_m, тогда

(2¢)- выборочная средняя.

Положим, что функция:

(3)

где находится по формуле (2¢).

Чтобы найти состоятельную и несмещенную оценку:

;

Теперь возведем в квадрат и преобразуем:

устремим m , (x_i-m)® к обычной дисперсии,

;

Т.е. это говорит о состоятельности оценки.

.

- значит, оценка смещенная.

Найдем несмещенную оценку. Умножим на коэффициент, обратный данному.

- называется исправленной статистической дисперсией или выборочной дисперсией.