АЧХ замкнутой системы

Общие замечания

Опыт проектирования САР показывает, что длина среднечастотного участка ЛАЧХ, простирающегося в области частот w>w_С, при рассмотренной выше методике синтеза обычно велика, а реальное перерегулирование в системе, как правило, оказывается меньше заданного.

Формирование протяженного среднечастотного участка ЛАЧХ под наклоном "–1" в области частот w>w_С обычно требует реализации сложных корректирующих звеньев. Поэтому после предварительного выбора желаемой ЛАЧХ и анализа возможности реализации корректирующего звена приходится вносить коррективы в характер желаемой ЛАЧХ. При этом возникает необходимость решения следующих задач: при каких параметрах более простого корректирующего звена, а следовательно, при какой скорректированной желаемой ЛАЧХ система все еще будет удовлетворять заданным показателям качества?

Большинство решаемых задач зависит от их постановки, от исходных данных. Прежде чем ознакомиться с некоторыми из постановок задач, условимся частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ, расположенные на оси частот левее частоты среза (w<w_С), называть левыми (w_Л), а расположенные правее частоты среза (w>w_С) – правыми (w_П).

Наиболее распространенными являются задачи в следующих постановках:

· при заданном быстродействии (w_c) и величине перерегулирования s определить минимально возможные допустимые значения правых частот сопряжения, при которых удовлетворяются заданные показатели качества САР;

· при заданной величине перерегулирования s найти и заданных правых частотах сопряжения w_П найти w_С, при которой обеспечивается максимальное быстродействие, и значения левых частот сопряжения;

· при заданных частотах сопряжения w_Л и w_П определить w_С, при которой имеет место максимальное быстродействие в САР при минимальной величине перерегулирования.

Приемлемые результаты дает методика синтеза САР по минимуму резонансного максимума М_р АЧХ замкнутой системы. Эта методика состоит в совмещении частоты w_р, при которой имеет место максимум АЧХ замкнутой системы М_р, с частотой, при которой имеет место экстремум ФЧХ разомкнутой системы. Доказано, что такое совмещение дает возможность при заданных частотах сопряжения или частотах среза синтезировать САР с минимальным значением М_р (с минимальной колебательностью переходного процесса), и наоборот, при заданной величине М_р (или заданном s) обеспечить максимальное быстродействие САР.

Достаточно знать, что минимальное значение М_р определяется по выражению [3]:

, (1)

где – алгебраическая сумма левых частот, причем положительные члены соответствуют частотам сопряжения, при которых происходит уменьшение наклона ЛАЧХ, отрицательные – частотам, при которых имеет место увеличение наклона ЛАЧХ;

– алгебраическая сумма величин, обратных правым сопрягающим частотам, причем положительные члены соответствуют частотам сопряжения, при которых происходит увеличение наклона ЛАЧХ (наоборот по сравнению с частотами сопряжения).

Требуемая частота среза w_С определяется по выражению [3]:

, (2)

Если в системе имеются колебательные звенья с ПФ

либо форсирующие звенья второго порядка с ПФ

то частоты сопряжения делятся на при определении w_П и умножаются на при определении w_Л (для ).

Приведенные выражения справедливы, если все частоты сопряжения разные. Если же наклон обеспечивается двумя, тремя апериодическими или форсирующими звеньями первого порядка, то количество соответствующих частот сопряжения удваивается (утраивается).

Совместное решение уравнений (1) и (2) дает:

; (3)

. (4)

С использованием выражений (3), (4) могут быть построены графики зависимостей (рис.9.15), пользуясь которыми, можно легко определить требуемые параметры САР. Зависимость между перерегулированием s и резонансным максимумом М_р, как известно, имеет вид:

. (5)

Можно также пользоваться эмпирическими формулами:

(6)

Рассмотрим алгоритмы решения задачи при разных формулировках:

Задача 1. Дано: w_С, s и характер ЛАЧХ.

Определить: и .

Решение. Из формулы (5) определяем требуемое значение М_р:

По величине М_р из графиков рис.9.15 определяем числа и .

Далее определяем:

и .

Задача 2. Дано: М_р, .

Определить: w_С и .

Решение. По величине М_р из графиков рис.9.15 определяем числа и .

Далее определяем:

и .

Задача 3. Дано: , и характер ЛАЧХ.

Определить: w_С и М_р.

Решение. По заданным и определяем .

Затем по графику соответствующей зависимости рис.9.15 определяем М_р.

По найденному М_р из графиков рис.9.15 определяем и частоту среза .

В.А. Бесекерским установлены зависимости между М_р и требуемыми для его выполнения параметрами:

;

Например, для М_р=1,5 имеем

Пример.

Задана система подчиненного регулирования скорости двигателя постоянного тока (рис.9.16), в которой контур регулирования тока (КРТ) синтезирован таким образом, что он представляет собой колебательное звено с ().

Т_m – малая постоянная времени, не поддающаяся компенсации (обычно Т_m =3…5 мс). k_T – коэффициент ОС по току; k_w – коэффициент ОС по скорости.

Считая, что инерционность КРТ компенсировать нецелесообразно, спроектировать астатическую систему первого порядка, обеспечивающую заданную точность в установившемся режиме:

n=1 c₀=0 c₁=T_m

Решение.

Поскольку задан коэффициент ошибки с₁, необходимо, чтобы коэффициент усиления разомкнутой системы

. (*)

Передаточная функция разомкнутой САР:

или, после пренебрежения инерционностью КРТ:

Из последних формул видно, что

. (**)

Приравнивая (*) и (**), получаем, что

где – постоянная интегрирования разомкнутого контура регулирования скорости (КРС).

В таком случае требуемая добротность САР по скорости будет обеспечена. При этом результирующая ПФ разомкнутого КРС:

Построим ЛАЧХ разомкнутого КРС при .

Характеристический полином представим в виде:

где , ;

ЛАЧХ разомкнутого КРС представлена на рис.9.17 (сплошная линия).

Будем решать задачу в такой постановке:

Синтезировать систему с требуемыми показателями по точности при условии, что заданное перерегулирование s=25%, а быстродействие будет максимальным. При решении задачи необходимо выполнить условие, что инерционность КРТ компенсироваться не будет, таким образом, желаемая ЛАЧХ в области высоких частот будет иметь такой же вид, как и ЛАЧХ неизменяемой части, т.е. наклон "–3".

В соответствии с поставленной задачей перед синтезом желаемой ЛАЧХ примем, что частота среза w_С будет находиться левей частоты сопряжения , и будет сопрягаться с низко- и высокочастотными участками ЛАЧХ при наклонах "–2" и "–3" соответственно (рис.9.17, прерывистая линия). Значения w_С и частот сопряжения w₁, w₂ пока неизвестны.

Тогда задача сводится к задаче 2.

Дано: М_р =1+ s =1,25; ;

Необходимо определить w_С и .

По величине М_р из графика рис.9.15 определяем , отсюда

Из вида желаемой ЛАЧХ следует, что

По значению М_р из графика рис.9.15 определяем , отсюда

Например, при с:

с с^-1 с^-1.

Таким образом, чтобы обеспечить желаемую ЛАЧХ, необходимо в регулятор скорости внести одно апериодическое звено и одно форсирующее звено 1-го порядка. Тогда ПФ регулятора скорости: