Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

.

Алгебраические свойства смешанного произведения:

1) - смешанное произведение не изменяется от перегруппировки сомножителей;

2) - смешанное произведение меняет знак на обратный при перестановке пары сомножителей;

3) - при умножении вектора на число смешанное произведение умножается на это число.

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) три вектора компланарны, если - условие компланарности трех векторов;

2) модуль смешанного произведения | | некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и ;

3) тройка векторов правая, если (, , )>0; тройка левая, если (, , ) <0.

Смешанное произведение в координатах трех векторов , , есть число, равное определителю, составленному из координат векторов:

.

Из определения смешанного произведения векторов вытекают следующие формулы:

- объем тетраэдра ;

- высота тетраэдра (параллелепипеда) .