Если рассматривать не функции времени, а их изображения по Лапласу
, ,
то вместо свертки функций (3-20) можно записать для их изображений
, (3-21)
где W(p) называется передаточной функцией системы.
Из (3-21) можно дать и другое определение передаточной функции
, (3-22)
При нулевых начальных условиях передаточная функция обозначается часто также через К(р).
В отличие от дифференциальных уравнений и временных динамических характеристик, передаточная функция не имеет простого физического смысла. Однако в инженерных расчетах пользуются именно операциями над изображениями. При этом широко используют следующие свойства преобразования Лапласа (табл. 3-1).
Более понятным становится смысл передаточной функции, если рассмотреть весьма близкую к ней динамическую характеристику — комплексный коэффициент усиления
, (3-23)
где Ф — обозначение изображения по Фурье; ω — частота.
Как и для передаточной функции, здесь можно записать (для невозбужденной при t <0 системы)
где Х(jω), Y(jω) —изображения по Фурье входного и выходного воздействий.
|
|
Если входным воздействием является гармоническое , то в установившемся режиме на выходе системы будет также гармоническое воздействие . В этом случае ККУ приобретает весьма! простой смысл: ККУ показывает отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе (рис. 3-5,а). Это отношение в общем случае зависит от частот входного гармонического сигнала. Поэтому получаем ККУ в виде
, (3-24)
где — модуль ККУ (амплитудно-частотная характеристика АЧХ, показывающая изменение усиления амплитуды сигнала в зависимости от частоты); - аргумент ККУ (фазочастотная характеристика ФЧХ, показывающая сдвиг фазы).
Рис. 3-5 Определение и изображение АФХ
Таблица 3-1
№ пп | Свойства | Оригинал f(t) f(t)=0 при t <0 | Изображение F(р) |
Свойство линейности | |||
Теорема подобия | |||
Теорема запаздывания | |||
Теорема затухания | |||
Дифференцирование при нулевых начальных условиях | |||
Интегрирование при нулевых начальных условиях | |||
Свертка функций | |||
Теорема о конечном (и начальном) значении | |||
Теорема разложения (для простых корней) | pk — корни А(р) =0 |
Изображения некоторых функций
1а | δ-функция | ||
2а | Единичный скачок | ||
За | Нарастающий сигнал | ||
4а | Экспонента |
На практике весьма часто характеристику (3-24) изображают на комплексной плоскости, когда частота изменяется от нуля до бесконечности, и называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Иногда ее называют также годографом ККУ. Типичный вид АФХ объекта с инерционностью (к таким объектам относится большинство промышленных процессов) показан на рис. 3-5,б. Из АФХ видно, что амплитуда колебаний на выходе с ростом частоты падает до нуля, при этом выходные колебания все больше отстают по фазе от входных (φ <0).
|
|
На практике наибольшее распространение при анализе и синтезе одноконтурных систем получим логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), имеющая логарифмический масштаб амплитуды
[децибел] (3-25)
и логарифмический масштаб по оси частот, и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ), имеющая логарифмический масштаб только по оси частот. Их применение связано с двумя обстоятельствами: во-первых, при произведении амплитудно-частотных характеристик соответствующие ЛАЧХ просто складываются (далее будет показано, что частотные характеристики одноконтурных систем образуются именно как произведение характеристик отдельных звеньев), во-вторых, появляется возможность упрощенного построения ЛАЧХ в виде отрезков прямых, что связано с изменением кривизны характеристик при построении их в логарифмическом масштабе. Связь между значениями А и L иллюстрируется табл. 3-2, при этом А — натуральное число.
Таблица 3-2
А | 0,01 | 0,1 | 0.316 | 0.89 | 3,16 | |||
L, дб | -40 | -20 | -10 | -1 |
Поскольку при произведении комплексных коэффициентов усиления их аргументы (фазовые характеристики) складываются, то нет необходимости применять логарифмический масштаб для фазы.