Эти оценки дают связь между некоторыми показателями переходной функции САР и ее вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) .
Поскольку замкнутая система устойчива, то ее передаточная функция не имеет полюсов в правой полуплоскости и на мнимой оси. Поэтому используя обратное Фурье-преобразование, получаем (см. (6-11))
, (6-12)
где R, I — соответственно вещественная и мнимая части передаточной функции САР. По формуле (6-12) получены следующие оценки.
1. Начальное и установившееся значения равны
,
,
что легко получается из теорем о начальном и конечном значении (см. § 3-3).
2. Критерий малых перерегулирований.
Чтобы величина перерегулирования была не больше 18%, достаточно, чтобы ВЧХ замкнутой системы была непрерывной положительной невозрастающей функцией (рис. 6-4,а).
В самом деле, выражение (6-12) можно представить в виде ряда
, (6-13)
при этом функция на интервале либо положительна, либо отрицательна. Поскольку , то ряд (6-13) является знакопеременным убывающим, поэтому, ограничиваясь в нем первым членом, получаем
|
|
Рис. 6-4
3. Критерий монотонности.
Чтобы была монотонной функцией, достаточно, чтобы ВЧХ замкнутой системы была положительной функцией с отрицательной и монотонно возрастающей производной (рис. 6-4,б).
4. Критерий для нижней границы времени регулирования.
Если на интервале частот (рис. б-4,в),
то .
5. Наличие резкого экстремума на частоте в ВЧХ (рис. 6-4, в) свидетельствует о колебательном процессе с собственной частотой, близкой к .
Чтобы воспользоваться указанными оценками качества, необходимо иметь . Между тем в распоряжении чаще всего имеется ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы и . Нетрудно указать связь между этими характеристиками.
Поскольку комплексный коэффициент разомкнутой системы можно представить в виде (3-24), то для замкнутой системы
.
Освобождаясь от иррациональности в знаменателе, получаем
(6-14)
По этой формуле построены R-номограммы (рис. 6-5), по которым легко построить , имея и . При этом значения амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы даны в децибелах.
Значения ФЧХ даны как для положительных, так и для отрицательных значений фазы, поскольку входящая в (6-14) функция является четной. Заметим, что независимо от фазы φ, как следует из (6-14):
при дб,
при дб.
Рис. 6-5
Поэтому диапазон называют существенным динамическим диапазоном САР: если логарифмические характеристики двух САР совпадают и этом диапазоне и различаются вне его, то их ВЧХ различаются не более чем на 2,5%. Различие же в их.переходных функциях будет столь же незначительным [3]. Таким образом, качество САР полностью определяется характером частотных характеристик в указанном динамическом диапазоне.
|
|
В ряде случаев (при расчете следящих систем, а также находящихся под действием периодических возмущений) используют упрощенное суждение о качестве по значению показателя колебательности
,
которое связано с показателями качества, рассмотренными в § 6-2. Считают, что для удовлетворительного качества переходного процесса максимальное перерегулирование должно быть
.
При этом, если амплитудно-частотная характеристика исследуемой системы близка к аналогичной характеристике колебательного звена, которое можно характеризовать показателем колебательности , и частотой резонансного пика , то для обеспечения перерегулирования в указанном диапазоне достаточно обеспечить [2]
или запас по фазе (находится из и )
.
Последнее условие широко применяют на практике.
§ 6-3-1. Оценка качества САР с типовой ЛАЧХ по номограммам
Если система является минимально-фазовой и имеет типовую ЛАЧХ (см. рис. 6-6, где цифры показывают наклон асимптот), то все указанные в § 6-2 показатели переходной функции могут быть найдены из номограмм [2]. Если ЛАЧХ отличается от типовой вне диапазона , то использование номограмм приведет к весьма незначительной погрешности.
Типовую ЛАЧХ можно полностью определить шестью параметрами
, | , | , | наклон АВ, | наклон CD, | (6-15а) | |
Рис. 6-6
Каждой ЛАЧХ с указанными параметрами соответствует вполне определенная передаточная функция типа
(6-15б)
Задавая значения параметров (6-15а), можно рассчитать для соответствующей системы (6-15б) переходную функцию и указать показатели качества .
Вначале по отношению находят нужную группу номограмм. При этом оказывается, что достаточно иметь всего пять групп номограмм для . Затем по наклонам асимптот АВ и СD (см. рис. 6-6) находят саму номограмму. Таких номограмм в группе, очевидно, может быть четыре. Общее количество номограмм, следовательно, равно 20. На номограмму нанесены значения остальных трех параметров, причем, для величины μ — дискретно ().
Номограмма (пример ее показан на рис. 6-7) состоит из двух частей. По верхней номограмме в зависимости от и μ Можно найти и Мт. По нижней номограмме находят и , а также , . Зная , легко найти .
Если действительное значение μ отличается от данных на номограмме дискретных значений, то пользуются линейной интерполяцией.
Рис. 6-7