Вычисление центра тяжести плоской линии

Пусть на плоскости дана дуга АВ материальной линии, уравнение которой y=F(x), где F(x) - непрерывная на отрезке [a; b] функция, имеющая непрерывную производную

Координаты центра тяжести будут:

; , где s – длина дуги;

- дифференциал длины дуги (формула получена ранее).

Статические моменты дуги АВ:

; .

Если дуга АВ расположена симметрично относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести непременно лежит на этой прямой.

Пример 14. Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса В.

Выбираем систему координат, как указано на рисунке. Уравнение окружности: , откуда ; ; .

Длина четверти окружности , т.к. дуга АВ симметрична относительно биссектрисы.

Если координаты угла y=x, то х=у, найдем у:

.

Ответ: .