Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1–3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0–К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соот­ветственно: у колеса 1 – r₁ =2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ =6 см, R₂ =8 см, у колеса 3 – r₃ – 12 см, R₃ =16 см. На ободьях колес рас­положены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где φ₁(t) – закон вращения колеса 1, s₄(t) – закон движения рейки 4, ω₂(t) –закон изменения угловой скорости колеса 2, v₅(t) – закон изменения ско­рости груза 5 и т.д. (везде φ выражено в радианах, s – в санти­метрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и v₄, v₅ – вниз.

Определить в момент времени t₁=2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (v – линейные, ω – угловые) и уско­рения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (v₅ – скорость груза 5 и т. д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движе­ния твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса свя­заны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следова­тельно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ре­мень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
		vB, vC	ε2, аA, aв
		vA, vC	ε3, aВ, a4
		v4, ω2	ε2, аС, a5
		v5, ω3	ε2, аА, а4
		v4, ω1	ε1, аB, а5
		v5, vB	ε2, аC, а4
		v4, ω1	ε1, aC, a5
		vA, ω3	ε3, aB, a5
		v4, ω2	ε1, aC, a4
		v5, vB	ε 2, aA, а4

Рис. К2.0	Рис. К2.1
Рис. К2.2	Рис. К2.3
Рис. К2.4	Рис. К2.5
Рис. K2.6	Рис. К2.7
Рис. К2.8	Рис. К2.9

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃,скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2) Рейка движется по закону .

Рис. K2

Дано: R₂ =6 см, r₂ =4 см, R₃ =8 см, r₃ = 3 см, (s – в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ =3 с. Определить: ω₃, v_t, ε₃, α_A в момент времени t=t₁.

Решение. Условимся обозна­чать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R₁), через: v_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r₁), – через u_i.

1. Определяем сначала угло­вые скорости всех колес как функ­ции времени t. Зная закон движе­ния рейки 1,находим ее скорость

(1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v₂=v₁ или ω₂R₂=v₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следова­тельно, u₂ = v₃ или ω₂r₂ = ω₃r₃. Из этих равенств находим

, (2)

Тогда для момента времени t₁ =3 с получим ω₃ =6,75 с^-1.

2. Определяем v₁. Так как v₁=v_B=w₃r₃, то при t₁ =3 с v₄ = -20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при t₁ =3 с ε₃ =4,5 с^-2.

4. Определяем а_A. Для точки А ,где численно , . Тогда для момента времени t₁=3 с имеем

, ;

.

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2. Ответ: ω₃=6,75 с^-1; v₄ =20,25 см/с; ε₃ =4,5 с^-2; a_A = 366,3 см/с².