Задача С4

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С4.0 – С4.9, табл. С4). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах H, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан пер­вым, приложена сила P =200 Н; во втором узле приложена сила Q =100 Н. Сила Р образует с положительными направлениями коор­динатных осей х, у, z углы, равные соответственно α₁ = 45°, β₁ =60°, γ₁ = 60°, а сила Q – углы α₂ =60°, β₂ =45°, γ₂ =60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. С4.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху –квадра­ты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью ху угол φ =60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плос­костью угол Θ=51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С4.10 в качестве примера показано, как должен выгля­деть чертеж С4.3, если но условиям задачи узлы находятся в точках L и М,а стержнями являются LM, LA, LB; MA, MC, MD. Там же показаны углы φ и Θ.

Указания. Задача С1 – на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно рав­новесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противодействия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба, так что­бы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует про­нумеровать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, , и т.д.).

Таблица С4

Рис. С4.0	Рис. С4.1	Рис. С4.2
Рис. С4.3	Рис. С4.4	Рис. С4.5
Рис. С4.3	Рис. С4.4	Рис. С4.5
Рис. С4.6	Рис. С4.7	Рис. С4.8
Рис. С4.9	Рис. С4.10

Пример С4. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,..., 6,соединенных друг с другом (в узлах К и М)и с непо­движными опорами A, B, С, D шарнирами (рис. С4). В узлах К и M приложены силы и ,образующие с координатными осями уг­лы α₁, β₁, γ₁ и α₂, β₂, γ₂ соответственно (на рисун­ке показаны только уг­лы α₁, β₁, γ₁).

Рис. С4

Дано: P =100 Н, α₁ =60°, β₁ =60°, γ₁ =45°; Q =50 H, α₂ =45°, β₂ =60°, γ₂ =60°; ψ =30°, φ = 60°, δ =74°. Определить: усилия в стержнях 1 – 6.

Решение. 1. Рассмот­рим равновесие узла К, в котором сходятся стер­жни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реак­ции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения рав­новесия этой пространст­венной системы сходящихся сил:

, ; (1)

; ; (2)

, . (3)

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значе­ниях силы Р и углов, получим: N₁ =349 Н, N₂ =–345 Н, N₃ =141 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция , направлена противополож­но , численно же . Составим уравнения равновесия:

, ; (4)

, ; (5)

, . (6)

При определении проекций силы , на оси х и y вуравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию N₅ этой силы на плос­кость хОу (по величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что , найдем, чему равны N₄, N₅, N₆. Ответ: N₁ =349 Н; N₂ =–345 Н; N₃ =141 Н; N₄ =50 Н; N₅ =329 H; N₆ =–66 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные – растянуты.