Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.4) или круглая пластина радиуса R =60 см (рис. К4.5–К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=f1(t) заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).
По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружности радиуса R (рис. 5–9)движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка - Д1 показана в положении, при котором (при s <0 точка M находится по другую сторону от точки А).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t =l с.
Указания. Задача К1 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка Л1 на пластине в момент времени t1= l c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).
|
|
В случаях, относящихся к рис. 5–9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t1= 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.
Таблица К4
Номер условия | Для всех рисунков φ=f1(t) | Для рис. 0–4 | Для рис. 5-9 | ||
b, см | l | ||||
R | |||||
R | |||||
R | |||||
R | |||||
R | |||||
R | |||||
R | |||||
Рис. К4.0 | Рис. К4.1 | Рис. К4.2 |
Рис. К4.3 | Рис. К1.4 | Рис. К4.5 |
Рис. К4.6 | Рис. К4.7 |
Рис. К4.8 | Рис. К4.9 |
Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4,а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону φ=f1(t) (положительное направление отсчета угла φ показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге
Рис. К4
большого круга («меридиану») движется точка Л1 по закону ; положительное направление отсчета s от А к D.
Дано: R =0,5 м, , (φ – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: vab и аaб в момент времени t1 =l с.
Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным (АВ– относительная траектория точки), а вращение шара – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:
, , (1)
где, в свою очередь, , .
|
|
Определим все характеристики относительного и переносного движений.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону
(2)
Сначала установим, где будет находиться точка M на дуге в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t =1 с, получим
. Тогда
или . Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка M1).
Теперь находим числовые значения , , :
; ;
где ρот – радиус кривизны относительной траектории, т. е. дуги .Для момента времени t1= 1 c, учитывая, что R =0,5 и, получим
; ; (3)
.
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор - направлен к центру С дуги . Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга совмещена с плоскостью чертежа.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: , и при t1 =l с.
. (4)
Знаки указывают, что при t1 =l с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.
Для определения и находим сначала расстояние h точки А1, от оси вращения. Получаем . Тогда в момент времени t1 =1 с, учитывая равенства (4), получим:
, , (5)
.
Изображаем на рис. К4, а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).
3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t1 =1 с (см. равенства (3) и (4))
(6)
Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω,т. е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рис. К4, а.
Теперь можно вычислить значения vаб и aаб.
4. Определение vаб. Так как ,а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а),то в момент времени t1 =1 с.
5. Определение aаб. По теореме о сложении ускорений
(7)
Для определения aаб проведем координатные оси (см. рис. К4, а)и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на проведенной оси x,а векторы , и расположены в плоскости дуги , т. е. в плоскости (см. рис. К4,б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t1 =1.
;
;
.
Отсюда находим значение aаб в момент времени t1= 1с:
Ответ: vаб =0,93 м/с; ааб =4,1 м/с2.