Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.4) или круглая пластина радиуса R =60 см (рис. К4.5–К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=f₁(t) заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружности радиуса R (рис. 5–9)движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка - Д1 показана в положении, при котором (при s <0 точка M находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t =l с.

Указания. Задача К1 – на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка Л1 на пластине в момент времени t₁= l c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5–9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁= 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

Таблица К4

Номер условия	Для всех рисунков φ=f₁(t)	Для рис. 0–4	Для рис. 5-9
b, см		l
				R

				R
				R
				R
				R

				R
				R

Рис. К4.0	Рис. К4.1	Рис. К4.2
Рис. К4.3	Рис. К1.4	Рис. К4.5

Рис. К4.6	Рис. К4.7
Рис. К4.8	Рис. К4.9

Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4,а) вращается вокруг своего диаметра АВ по закону φ=f₁(t) (положительное направление отсчета угла φ показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге

Рис. К4

большого круга («меридиану») движется точка Л1 по закону ; положительное направление отсчета s от А к D.

Дано: R =0,5 м, , (φ – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: v_ab и а_aб в момент времени t₁ =l с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным (АВ– относительная траектория точки), а вращение шара – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

, , (1)

где, в свою очередь, , .

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка M на дуге в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t =1 с, получим

. Тогда

или . Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка M₁).

Теперь находим числовые значения , , :

; ;

где ρ_от – радиус кривизны относительной траектории, т. е. дуги .Для момента времени t₁= 1 c, учитывая, что R =0,5 и, получим

; ; (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону; вектор - направлен к центру С дуги . Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: , и при t₁ =l с.

. (4)

Знаки указывают, что при t₁ =l с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения и находим сначала расстояние h точки А1, от оси вращения. Получаем . Тогда в момент времени t₁ =1 с, учитывая равенства (4), получим:

, , (5)

Изображаем на рис. К4, а векторы и с учетом направлений ω и ε и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t₁ =1 с (см. равенства (3) и (4))

(6)

Направление найдем, спроектировав вектор на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω,т. е. по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление можно найти, учтя, что . Изображаем вектор на рис. К4, а.

Теперь можно вычислить значения v_аб и a_аб.

4. Определение v_аб. Так как ,а векторы и взаимно перпендикулярны (см. рис. К4, а),то в момент времени t₁ =1 с.

5. Определение a_аб. По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения a_аб проведем координатные оси (см. рис. К4, а)и вычислим проекции вектора на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на проведенной оси x,а векторы , и расположены в плоскости дуги , т. е. в плоскости (см. рис. К4,б). Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси и учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t₁ =1.