Задача СЗ

Однородный стержень весом Р= 24Н прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2(рис. С3.0–С3.9, табл. С3), Коэффициенты трения ползунов о направляющие, вдоль которых они могут скользить, равны соответственно f₁ и f₂. К ползунам приложены силы Q₁ и Q₂, показанные на рисунках. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

Определить величину, указанную в таблице в строке «Найти», где обозначено: (или ) – наименьшее значение силы Q₁ (или Q₂), при котором имеет место равновесие; (или – наибольшие значения тех же сил, при которых сохраняется равновесие; (или ) – наименьшее значение коэффициента трения, при котором сохраняется равновесие.

Указания. Задача С3 – на равновесие тела под действием плоской системы сил при наличии трения скольжения. При решении задачи следует рассмотреть предельное положение равновесия, когда . Уравнения равновесия решаются проще, если их составить в виде уравнений моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных сил (вместо одного из таких уравнений можно составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную неизвестной силе).

Условие f₁ =0 (или f₂ =0) означает, что ползун 1 (или 2) гладкий; соответствующую силу трения на чертеже не изображать и в уравнения не вводить (введение этой силы, с тем чтобы потом положить f =0, сильно усложнит решение).

Таблица С3

Номер условия
Q₁, H		—			—	—			—
Q₂, Н	—			—			—			—
f₁		0,15		0,2		0,2		—		0,15
f₂	0,2		—		0,15		0,15		0,2
Найти

Рис. С3.0	Рис. С3.1
Рис. С3.2	Рис. С3.3
Рис. С3.4	Рис. С3.5
Рис. С3.6	Рис. С3.7
Рис. С3.8	Рис. С3.9

Пример С3. Жесткий угольник ADB весом Р (). расположенный в вертикальной плоскости, прикреплен шарнирами кползунам 1 и 2 (рис. С3). Линия действия силы Р проходит на расстоянии h от стороны АО. В середине стороны AD приложена горизонтальная сила Q. Коэффициент трения ползуна / о направляющие равен f;ползун 2 гладкий.

Дано: Р =40 Н, BD=b= 0,8 м, h =0,3 м, а =0,2 м, f₁ =0,3. Угол между направляющими 120°. Определить: Q" –наибольшее значение силы Q, при котором сохраняется равновесие.

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим предельное равновесие угольника, при котором Q=Q". Изображаем действующие на угольник силы , , нормальные реакции , и предельную силу трения , приложенную к ползуну 1.

То, что сила имеет наибольшее возможное числовое значение, означает, что при ее дальнейшем увеличении равновесие нарушится и под действием силы ползун 1 начнет скользить влево, а ползун 2 – вверх. Следовательно, при равновесии сила , удерживающая ползун 1 от скольжения влево, направлена вправо (направление силы при решении подобной задачи надо обязательно установить и показать это направление на рисунке верно).

2. Так как сила трения, выражающаяся через нормальную реакцию, действует лишь на ползун 1, то реакцию N₂ можно не определять и составить только два уравнения равновесия, вкоторые N₂ не войдет. Для этого проведем сначала линии действия неизвестных реакций и до их пересечения в точке Е и составим уравнение , в которое N₁ и N₂ не войдут. Получим, полагая Q=Q":

,(1)

где . Тогда при заданных значениях h и а уравнение (1) примет вид

откуда находим

. (2)

Равенство (2) не может дать f_тр <0, поскольку направление силы было заранее установлено и показано на рис. С3 верно. Следовательно, должно быть

или . (3)

Для определения N₁ можно составить или уравнение моментов относительно точки, где пересекаются линии действия сил и , или уравнение проекции на ось, перпендикулярную . Составим, проведя ось Вх, уравнение .Получим

. (4)

Отсюда, заменяя F,_v его значением (2), найдем окончательно

(5)

Для определения Q" учтем, что когда равновесие является предельным, то F_тр и N₁ связаны соотношением

. (6)

Подчеркиваем, что в это равенство входят модули сил. В нашем случае ,так как было установлено, что F_тр >0 и дается равенством (2). Но утверждать, что в равенстве (5) N₁ >0 нет оснований, так как направление может быть и противоположно показанному на рис. С3. Поэтому рассмотрим оба возможных случая:

а) N₁ >0 (реакция направлена так, как показано на рис. С3). Тогда, подставляя в (6) значения F_тр и N₁ из (2) и (5) н учтя, что f =0,3, получим

откуда находим

. (7)

б) N₁ <0 (направление противоположно показанному на рис. С3). Тогда и равенство (6) дает

откуда

. (8)

Из полученных результатов (7) удовлетворяет неравенству (3), а (8) не удовлетворяет. Следовательно, окончательный ответ .

Примечания: 1. Если в задаче требуется найти наименьшее значение силы , при котором сохраняется равновесие, то это означает, что при дальнейшем уменьшении силы она не удержит угольник в равновесии и под действием силы ползун 2 начнет скользить вниз, а ползун 1 – вправо; следовательно, в этом случае сила F_тр,удерживающая ползун 1 от скольжения вправо, будет направлена влево (противоположно показанной на рис. С3). В остальном весь ход решения остается таким же, как в рассмотренном примере.

2. Если в задаче все действующие силы заданы и надо найти наименьший коэффициент трения , при котором сохраняется равновесие, то силу (как и реакции) можно направлять в любую сторону и, составив уравнения равновесия, аналогичные, например, уравнениям (1) и (4) в рассмотренном примере, найти из них F_т_pи N). При этом, поскольку действующие силы заданы, для F_тр и N₁ получатся конкретные числовые значения. Эти значения и следует подставить в равенство (6) и найти из него . Если при расчетах получится F_т_p <0 или N₁ <0, то это означает лишь, что направление соответствующей силы противоположно показанному на рисунке, но результат не изменится, так как в (6) входят модули сил.