Задача K1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0– К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями , , где x и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ =1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касатель­ное н нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость указана непосредственно на рисунках, а зависимость дана в табл. К1 (для рис. 0–2 в столбце 2, для рис. 3–6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в за­дачах C1–C5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются каса­тельное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить толь­ко для момента времени t₁ =1 с. D некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: .

Таблица К1

Номер условия
рис. 0-2	рис. 3-6	рис. 7-9

Рис. К1.0	Рис. К1.1	Рис. К1.2
Рис. К1.3	Рис. К1.4	Рис. К1.5	Рис. К1.6
Рис. К1.7	Рис. К1.8	Рис. К1.9

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ =l с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки ис­ключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t вхо­дит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

,

следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траекто­рии точки (параболы, рис. К1):

(2)

Рис. К1

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси;

;

;

и при t =l c.

v_1x =1,11 см/с, v_1y = 0,73 см/с, v₁ =1,33 см/с. (3)

3. Аналогично найдем ускорение точки:

; ;

и при t =1 с

a _1x=0,87 см/с², a_1y =-0,12 см/с², a₁ =0,88 см/с². (4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство .Получим:

и (5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть вы­ражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подста­вив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t =1 с a_lτ =0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения a_t и а_и, получим, что при t =1 с a_1n =0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда чис­ловые значения v₁ и а_1n, найдем, что при t =1 с ρ₁ =3,05 см. Ответ: v₁ =1,33 см/с, а₁ =0,83 см/с², а_1τ =0,66 см/с², a_ln =0,58 см/с², ρ₁ =3,05 см.