2015-10-13
451
Возьмем простейший случай, когда система содержит две одинаковые частицы. В этом случае система может находиться в одном из четырех глобальных (многочастичных) состояний. Значения глобальных наблюдаемых (характеризующих всю систему в целом) приведены в таблице:
| Состояние | Ориентация векторов спина | Энергия, Е, Дж. | Проекция Sz | Проекция m z |
| ¯(S1) ¯(S2) | – h | + 2m | ||
| (S1) ¯(S2) | 1 × 10–21 | |||
| ¯(S1) (S2) | 1 × 10–21 | |||
| (S1) (S2) | 2 × 10–21 | + h | – 2m |
Два состояния — второе и третье — характеризуются одинаковыми значениями глобальных наблюдаемых и снаружи неразличимы. Поэтому можно сказать, что двухчастичная система имеет три уровня энергии, второй из которых двукратно (дважды) вырожден:
Статистическая сумма будет теперь содержать четыре слагаемых:
Q = exp(– E 1/q) + exp(– E 2/q) + exp(– E 3/q) + exp(– E 4/q)
Два из этих слагаемых одинаковы и поэтому сумму можно представить в более простом виде:
Q = exp(– E 1/q) + 2 × exp(– E 2/q) + exp(– E 4/q)
где множитель 2 выступает в качестве статистического веса второго глобального состояния.
|
|
|
При той же температуре (100 K) показатели больцмановских экспонент будут равны:
E 1/q = 0
E 2/q = E 3/q = 1 × 10–21 / 1,38 × 10–21 = 0,7246
E 4/q = 2 × 10–21 / 1,38 × 10–21 = 1,4492
Отсюда найдем величину статистической суммы:
Q = exp(–0) + 2 × exp(–0,7246) + exp(–1,4492) =
= 1 + 2 × 0,4845 + 0, 2347 = 2,2037
Соответственно, вероятности найти систему в одном из возможных состояний Pi = exp[– Ei /q]/Q будут равны:
Р 1 = 1 / 2,2037 = 0,4538
Р 2 = Р 3 = 0,4845 / 2,2037 = 0,2198
Р 4 = 0,2347 / 2,2037 = 0,1065
Теперь можно легко рассчитать значения макронаблюдаемых:
`E = E 1× P 1 + 2 × E 2× P 2 + E 4× P 4 =
= 0×0,4538 + 2×1×10–21×0,2198 + 2×10–21×0,1065 = 0,6528×10–21 [Дж]
`Sz = Sz 1× P 1 +2× Sz 2× P 2 + Sz 4× P 4 =
= (–h)×0,4538 + 2×0×0,2198 + (+h)×0,1065 = – 0,3472h
`m z = m z 1× P 1 +2×m z 2× P 2 + m z 4× P 4 =
= (+2m)×0,4538 + 2×0×0,2198 + (–2m)×0,1065 = 0,6944m
Сравним макронаблюдаемые для одно- и двухчастичной систем:
| Число частиц | Q | `E, Дж | `Sz, h | `m z , m |
| 1,4845 | 0,3264×10–21 | – 0,1736 | 0,3472 | |
| 2,2037 | 0,6528×10–21 | – 0,3472 | 0,6944 |
Легко видеть, что для двухчастичной системы макронаблюдаемые имеют удвоенные значения, по сравнению с их аналогами для одночастичной системы. Статистическая сумма Q2 = Q1´Q1. Обобщая этот результат, получаем важное правило, выполняющееся для многочастичных систем (взаимодействия между частицами должно быть пренебрежимо малым):
статистические суммы: Q(n) = Q1 ´ Q2 ´ … ´ Q n
макронаблюдаемые: A (n) = A 1 + A 2 + … + An
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение понятиям "статистическая система", "макронаблюдаемая", "статистический ансамбль", "термостат", "температура", "канонический ансамбль", "статистическая сумма".
|
|
|
2. Приведите методику вычисления статистической суммы.
3. Укажите, какие сведения о строении молекулы необходимо знать для вычисления или оценки статистических сумм для разных степеней свободы.
4. Какие физические и химические задачи можно решать с помощью статистических сумм.
