2015-10-13
2038
Статистическим весом называется число микросостояний, реализующих заданное макросостояние.
Ex Игральные кости. Конфигурация (3 4 5), так что сумма 
- аналог полной энергии макросостояния с . Энтропия 
.
В фазовом пространстве микросостоянию соответствует ячейка объема 
. Возьмем две гиперповерхности с энергиями 
и 
(для каждого 
). Число микросостояний будет пропорционально объему, заключенному между этими поверхностями 
.
- статистический вес (число состояний на единичный интервал энергии 
).
Рассмотрим систему с постоянной энергией (замкнутая система). Плотность 
будет отлична от нуля только на гиперповерхности 
и равно нулю в остальных точках (фазовая траектория целиком лежит на этой поверхности). Кроме того 
и 
на поверхности постоянно. Этому свойству удовлетворяет 
. Такое распределение называется микроканоническим.
Найдем нормировочную константу 
.
.
Таким образом 
, и 
.
Модуль канонического распределения, температура и теплоемкость определяются как:
, 
, 
.
Задачи:
14. Определить 
МКР для а) 
частиц идеального газа; б) независимых линейных классических осцилляторов.
|
|
|
Решение: а) энергия сохраняется, следовательно
(
- номер проекции, 
- номер частицы). Найдем объем 
, соответствующей состояниям с энергией, меньшей . Это, как следует из (1) будет объем 
- мерного шара.
NB Объем -мерного шара 
. Найдем 
. Рассмотрим интеграл
. Следовательно 
.
, 
, 
В нашем случае в роли 
выступает 
, а 
, следовательно:
.
Используя уравнения термодинамики:
сразу получим
, 
NB 
.
Таким образом, для больших весь объем - мерной сферы заключен вблизи ее поверхности, то есть для расчета энтропии можно брать весь фазовый объем, а не только его часть вблизи поверхности.
б) энергия системы независимых трехмерных осцилляторов сохраняется и равна:
Положим 
. Тогда
. Статистический вес: 
.
Энтропия: 
, следовательно 
.
NB Заметим, что в силу того, что - велико
.
15. Вывести каноническое распределение Гиббса, взяв в качестве модели термостата примеры из предыдущей задачи.
Решение: Обозначим 
- совокупность координат и импульсов частиц термостата, а 
- рассматриваемой системы. Вместе они образуют замкнутую систему. Чтобы получить распределение для системы, нужно проинтегрировать 
по координатам и импульсам термостата:
( - энергия системы).
Подставим из предыдущей задачи (термостат+система содержат частиц, а сам термостат 
)
при
Предел 
- каноническое распределение Гиббса или 
.
(В случае с осцилляторами следовало положить 
).
