2015-10-13
560
Это распределение получается из канонического, если воспользоваться выражением для гамильтониана 
:
.
Если проинтегрировать по 
(по 
), то эти распределения можно получить по - отдельности. Кроме того, это есть вероятность одной частице иметь координаты и скорости в заданном фазовом объеме 
(по координатам и импульсам остальных 
частицам 
мы проинтегрировали).
Задачи.
34. Получить распределение по модулю скорости, проекции и энергии для газа, не находящегося во внешнем поле.
Решение: Энергия газа 
не зависит от координат. Тогда интегрирование 
по координатам дает 
, который можно включить в нормировочный множитель (пока еще не определенный). Проинтегрировав 
по всем скоростям, кроме одной и включив эти интегралы в 
, мы получим функцию 
, описывающую распределение вероятностей скоростей для одной частицы:
.
найдем из условия нормировки: 
, откуда (интеграл Пуассона) 
. Чтобы получить распределение по одной компоненте скорости (скажем, 
), необходимо проинтегрировать плотность по двум остальным проекциям скорости. В результате получим:
.
Чтобы получить распределение по модулю скорости, запишем в виде:
,
и перейдем к сферическим координатам в пространстве скоростей:
, 
. Тогда:
(оно автоматически оказывается нормированным).
Наконец, чтобы получить распределение по энергии, подставим 
. В результате получим:
Используя эти распределения, по общим формулам, получим средние:
а) 
(для четных 
).
(напомним, что 
).
В частности:
: 
.
Заметим, что 
(теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы).
.
Для нечетных 
(нечетная функция).
б) 
.
В частности:
Для 
, (
),
а для 
, 
.
Наиболее вероятная по модулю скорость, получается дифференцированием
, 
по 
:
. Следовательно, при 
в) 
.
В частности при 
а при 
.
