Это распределение получается из канонического, если воспользоваться выражением для гамильтониана :
.
Если проинтегрировать по (по ), то эти распределения можно получить по - отдельности. Кроме того, это есть вероятность одной частице иметь координаты и скорости в заданном фазовом объеме (по координатам и импульсам остальных частицам мы проинтегрировали).
Задачи.
34. Получить распределение по модулю скорости, проекции и энергии для газа, не находящегося во внешнем поле.
Решение: Энергия газа не зависит от координат. Тогда интегрирование по координатам дает , который можно включить в нормировочный множитель (пока еще не определенный). Проинтегрировав по всем скоростям, кроме одной и включив эти интегралы в , мы получим функцию , описывающую распределение вероятностей скоростей для одной частицы:
.
найдем из условия нормировки: , откуда (интеграл Пуассона) . Чтобы получить распределение по одной компоненте скорости (скажем, ), необходимо проинтегрировать плотность по двум остальным проекциям скорости. В результате получим:
|
|
.
Чтобы получить распределение по модулю скорости, запишем в виде:
,
и перейдем к сферическим координатам в пространстве скоростей:
, . Тогда:
(оно автоматически оказывается нормированным).
Наконец, чтобы получить распределение по энергии, подставим . В результате получим:
Используя эти распределения, по общим формулам, получим средние:
а)
(для четных ).
(напомним, что ).
В частности:
: .
Заметим, что (теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы).
.
Для нечетных (нечетная функция).
б) .
В частности:
Для , (),
а для , .
Наиболее вероятная по модулю скорость, получается дифференцированием
, по :
. Следовательно, при
в) .
В частности при а при .