double arrow

Распределение Максвелла – Больцмана.

Это распределение получается из канонического, если воспользоваться выражением для гамильтониана :

.

Если проинтегрировать по (по ), то эти распределения можно получить по - отдельности. Кроме того, это есть вероятность одной частице иметь координаты и скорости в заданном фазовом объеме (по координатам и импульсам остальных частицам мы проинтегрировали).

Задачи.

34. Получить распределение по модулю скорости, проекции и энергии для газа, не находящегося во внешнем поле.

Решение: Энергия газа не зависит от координат. Тогда интегрирование по координатам дает , который можно включить в нормировочный множитель (пока еще не определенный). Проинтегрировав по всем скоростям, кроме одной и включив эти интегралы в , мы получим функцию , описывающую распределение вероятностей скоростей для одной частицы:

.

найдем из условия нормировки: , откуда (интеграл Пуассона) . Чтобы получить распределение по одной компоненте скорости (скажем, ), необходимо проинтегрировать плотность по двум остальным проекциям скорости. В результате получим:

.

Чтобы получить распределение по модулю скорости, запишем в виде:

,

и перейдем к сферическим координатам в пространстве скоростей:

, . Тогда:

(оно автоматически оказывается нормированным).

Наконец, чтобы получить распределение по энергии, подставим . В результате получим:

Используя эти распределения, по общим формулам, получим средние:

а)

(для четных ).

(напомним, что ).

В частности:

: .

Заметим, что (теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы).

.

Для нечетных (нечетная функция).

б) .

В частности:

Для , (),

а для , .

Наиболее вероятная по модулю скорость, получается дифференцированием

, по :

. Следовательно, при

в) .

В частности при а при .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: