Вероятностные процессы

16. (Термоэлектронная эмиссия). Вероятность вылета электрона за время - . Определить вероятность вылета электронов за время , если вылеты электронов - независимые события и промежуток времени бесконечно мал (так что два электрона за это время вылететь не может). Найти также , если за время вылетит электронов.

Решение: Разобьем интервал времени на малые участки . Событие (вылет электронов за время ) запишем в виде (в в н в н н…в). в – n штук, н – (N-n). Вероятность вылета - , невылета - . Так как все события независимы, то по теореме умножения вероятностей:

Кроме того, учтем различные перестановки между в и н. Всего их будет , что увеличит искомую вероятность в соответствующее число раз (так как вероятность событий (в в н в н н…в) и (в н н в н в…н) с одинаковым числом в и н одинаковы и равны ).

Таким образом:

Устремим к бесконечности и учтем, что

, ,

Тогда получим

Условие нормировки выполняется автоматически.

NB вероятность невылета ни одного электрона за время . При конечном и получаем :

следовательно .

17. Идеальный газ состоящий из молекул, находится в объеме . Найти вероятность того, что в объеме находится молекул.

Решение: Для одной молекулы . Потребуем, чтобы определенных молекул находились в (всего штук). При этом остальные молекулы не должны там находится. Вероятность отсутствия молекулы в объеме . Таким образом, вероятность того, что определенных молекул находятся в объеме , а остальные отсутствуют ввиду некорреллированости их движений равны

(вероятность конфигурации ,

(без черты - , с чертой - ). Таким образом,

.

Проверим условие нормировки

(бином Ньютона)

Среднее число молекул в объеме :

Подставим в (1)

Если , то (см. предыдущую задачу)

(распределение Пуассона)

Если , то

_.

Обозначим . Тогда

Таким образом

Константу найдем из условия нормировки:

.

Сравнивая с гауссовским распределением, находим, что

18. (Задача о случайных блужданиях по одномерной решетке). Вероятность скачка точки вправо - , влево - . Определить вероятность того, что за шагов частица окажется в точке с координатой .

Решение: Пусть частица делает шагов вправо и влево. Очевидно, что

(1)

событие - ( букв «вправо» и и букв «влево»).

Вероятность такого события .

Всего таких конфигураций , причем все они равновероятны. По теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

где и заданы в (1). Очевидно, что и должны быть одновременно четными, либо нечетными (в противном случае вероятность равна нулю).

К решению данной задачи можно подойти несколько иначе. Пусть - вероятность того, что в момент времени ( - время одного скачка) точка будет иметь координату ( - длина одного шага). Такое событие можно реализовать двумя способами – либо в случае, когда в момент времени точка имела координату и с вероятностью прыгнула вправо, либо когда в этот же момент ее координата была и затем с вероятностью прыгнула влево. По теореме о сложении вероятностей:

.

Считая , разложим эти вероятности в ряд Тейлора:

,

,

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем:

.

Вводя обозначения

, ,

получаем т. н. уравнение Фоккера-Планка:

.

Первое слагаемое в этом уравнении описывает регулярное смещение (очевидно, при это слагаемое отсутствует, т. е. ансамбль таких точек как целое покоится), второе – т. н. диффузионное движение. Нетрудно получить решение этого уравнения при начальном условии

Применяя преобразование Фурье по координате к вероятности:

Получаем для Фурье – образа :

,

Откуда после интегрирования находим:

(с учетом начального условия )

Подставляя в последний интеграл и вычисляя его, получаем нормированное распределение:

,

характерная ширина которого изменяется со временем по закону , что характерно для диффузионного движения (вспомните броуновскую частицу). Максимум же смещается равномерно со скоростью , что соответствует регулярному сносу. Если , то получается чисто диффузионное движение (такой процесс называется винеровским), если же , то используя одно из предельных представлений - функции, получаем детерминированное движение:

.

19. Определить энергию, температуру, энтропию, статистический вес и теплоемкость состояния с полной энергией системы независимых квантовых осцилляторов, считая, что частоты всех осцилляторов одинаковы.

Решение: Энергия одного осциллятора ,

Энергия всей системы равна сумме энергий всех осцилляторов:

,

Таким образом, макросостояние задается числом . В то же время данное получается различными конфигурациями целых положительных чисел, сумма которых равна : . Необходимо найти всевозможные такие конфигурации. Их число и есть статистический вес состояния с энергией . Запишем данную конфигурацию так - всего единиц и запятых. Очевидно, все конфигурации можно получить перестановками единиц и запятых. Всего их

Энтропия:

Температура:

(так как ).

(формула Эйнштейна). Предельные случаи:

а)

б)

20. частиц могут находиться на двух энергетических уровнях . Найти среднюю энергию, температуру, энтропию, статистический вес и теплоемкость.

Решение: Пусть частиц имеющих энергию , а - . Энергия такой конфигурации

откуда

. Следовательно .

Кроме того, данное значение энергии может быть реализовано способами. Это и будет статистическим весом состояния с энергией :

Энтропия:

.

. Таким образом, получаем:

или , откуда

.

Предельные случаи

а) (энергия системы минимальна)

б) (полное разупорядочение).

Теплоемкость

.

21. Один интересный метод получения распределения Гиббса.

Рассмотрим сосуд, объемом , содержащий одинаковых частиц идеального одноатомного газа. Мысленно разобьем его на одинаковых частей, в каждой из которых в данный момент будет находиться частиц (). Такую конфигурацию назовем микросостоянием и введем для нее обозначение

Ввиду тождественности рассматриваемых частиц указанную конфигурацию можно реализовать одинаковым способами, соответствующими перестановкам частиц внутри каждого объема. Такую величину назовем термодинамическим весом данного макросостояния, а ее логарифм – энтропией .

Т. к. обычно приходится иметь дело с термодинамической системой, где все , то выражение для энтропии можно записать приближенно, воспользовавшись формулой Стирлинга :

где - вероятность нахождения определенных частиц в объеме . Очевидно, что . Вместо введена энтропия в расчете на одну частицу .

Выясним, какой конфигурации чисел будет соответствовать максимальное значение удельной энтропии. Трудность здесь заключается в том, что не являются независимыми переменными, а подчиняются условию нормировки . В этом случае, согласно методу неопределенных множителей Лагранжа, будем исследовать на максимум не , а величину . Это позволяет учесть условие нормировки, при этом считая уже независимыми. Подставляя сюда и выполняя дифференцирование, получаем условие максимума:

,

откуда можно заключить, что максимуму энтропии соответствуют , одинаковые для каждого объема. Поэтому, как следует из условия нормировки и . Это означает, что в состоянии с максимальной энтропией частицы рассредоточены равномерно по всему объему сосуда.

Если взять достаточно большое , то мы получим континуальный предел. Тогда вместо вероятностей можно писать , где - плотность распределения частиц по объему. Для энтропии в этом случае справедливо представление:

,

т. е. энтропия получается как среднее от логарифма функции распределения.

Однако рассмотренная задача, как и само понятие «конфигурация», естественно, нуждаются в обобщении. Дело в том, что мы рассматривали все частицы как неподвижные, в то время как в действительности они движутся с определенными скоростями и таким образом, конфигурация частиц будет задаваться уже как . Такое обозначение позволяет судить о количестве частиц в -й части в пространстве скоростей с одним лишь отличием от случая пространственного распределения – оно не имеет конечного «объема», т. к. скорость частицы может принимать любые значения. Однако и здесь есть определенные ограничения. Дело в том, что при движении полная энергия частиц должна сохраняться. Считая для простоты (обобщение очевидно), что частицы обладают только кинетической энергией и, обозначив - относительное число частиц, обладающих энергией , можно теперь сформулировать задачу следующим образом. Требуется найти максимум функции , но уже при двух дополнительных условиях – постоянства величин и , связывающих между собой . Умножая последние два выражения на и соответственно и прибавляя их к , получаем, что мы теперь должны исследовать на максимум величину

считая все независимыми.

Из условия находим уравнение:

,

откуда

Вводя обозначение из условия нормировки, сразу находим . Эту величину назовем статистической суммой, а ( - абсолютная температура) – модулем канонического распределения. Полученное выражение представляет собой распределение частиц по энергетическим уровням и называется каноническим распределением Гиббса:

, .

Используя , найдем среднюю энергию системы (на одну частицу):

и аналогичным образом энтропию и свободную энергию .

.

В случае, если имеются и другие аддитивные, сохраняющиеся для всей системы величины (например, число частиц ), то, выполняя аналогичную процедуру, получим, что вероятность для системы иметь значения соответствующих величин будет равна:

.