Алгебра событий

Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть - некоторое событие.

1. Дополнением события называется событие , состоящее в том, что событие не произошло. Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий таково, что исход каждого опыта – это попадание точки в область плоскости.

По определению – это событие, состоящее в том, что не произошло. Поэтому в данной интерпретации – это непопадание точки в область , то есть – попадание точки в заштрихованную область, рис.4.1.

2. Объединением (или суммой) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий или . Для объединения будем использовать обозначение или . Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть – событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также , рис. 4.2. Аналогично событие – это попадание точки в область . Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий , …. Событие состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий …. Очевидно операция объединения коммутативна по определению: и ассоциативна, что также следует из определения:.

3. Пересечением (или произведением) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошли оба события и . Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения или . Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие состоит в том, что происходят все события Событиесостоит втом, что происходят все события . По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие: , а также ассоциативна:

Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:

Отметим, что если в для операции объединения используется знак "+", а для пересечения – отсутствие знака, то принимает хорошо знакомый вид: – закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.

Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.

Система событий называется алгеброй событий, если для любой пары событий и из условий следует, что события, , , содержатся в .