Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

Определение 10.27 Упорядоченную тройку некомпланарных векторов будем называть правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора поворот от первого вектора ко второму вектору по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки. Если поворот виден по часовой стрелке, то тройку называют левой тройкой векторов.

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения :

a \ b	i	j	k
i		k	- j
j	- k		i
k	j	- i

Предложение 10.24 Пусть , . Тогда

Доказательство. По условию , . В силу предложений 10.20 и 10.21 получим

(10.5)

По тем же правилам

По таблице умножения . Аналогично находим , . Подставив полученные результаты в формулу (10.5), получим

Запомнить полученную формулу довольно тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, введем еще два дополнительных объекта -- матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка будем называть таблицу из четырех чисел, которая обозначается , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел --

Определителем матрицы второго порядка будем называть число . Определитель второго порядка обозначается .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

Сформулируем словами правило вычисления определителя третьего порядка.

Берем первый элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом. Умножаем этот элемент на определитель, оставшийся после вычеркивания. Затем пишем знак "-" и берем второй элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель. Затем пишем знак "+" и третий элемент первой строки. Снова вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель.

В дальнейшем мы увидим, что столь сложно введенное понятие определителя оказывается очень полезным при решении систем линейных уравнений, определении линейной зависимости векторов и во многих других задачах.

Теорема.

Для компланарности трех векторов и трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство.

Пусть , докажем что векторы и компланарны.

Так как , то векторы и перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор перпендикулярен и вектору и вектору . Следовательно, векторы и компланарны, так как перпендикулярны одному вектору .

Пусть теперь векторы и компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения .

Так как векторы и компланарны, то вектор перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора на равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения .

Итак, теорема полностью доказана.

Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.

Пример.

Компланарны ли векторы , заданные в прямоугольной системе координат.