Глава 5: крутильные колебания

При вращательном движении твердого тела его мерой инерции является момент инерции относительно оси вращения. Для тел простой формы: диск, цилиндр, шар, стержень, момент инерции можно сравнительно просто рассчитать. Для более сложных тел можно использовать экспериментальные методы определения моментов инерции. Одним из них является метод крутильных колебаний.

Тело, подвешенное на отрезке упругого стального провода, может совершать гармонические колебания относительно оси, проходящей через центр инерции тела. Запишем уравнение динамики вращательного движения для него:

Где J — момент инерции тела, — угол поворота, отсчитанный относительно положения равновесия, M —момент силы, создаваемый упругим подвесом'. При небольших углах закручивания момент силы пропорционален углу поворота:

(5.2)

где D — постоянная подвеса, зависящая от упругих свойств материала, диаметра и длины провода.

С учетом формулы (5.2) основное уравнение динамики вращательного движения приобретет вид:

(5.3)

Перенося все слагаемые в левую часть и поделив на момент инерции, получим соотношение, которое называют уравнением гармонического осциллятора:

(5.4)

где

Используя известную связь между циклической частотой и периодом, получим формулу для периода крутильных колебаний

(5.5)

Если известна постоянная подвеса D, то используя формулу (5.5) можно определить момент инерции тела J. Однако, не всегда можно рассчитать постоянную подвеса D. Поэтому уравнение (5.5) можно использовать для определения постоянной подвеса для этого необходимо экспериментально определить период колебаний Т₁. тела с неизвестным моментом J₁.

(5.6)

Затем к телу с неизвестным моментом инерции присоединить тело с известным моментом инерции, например, сплошной однородный цилиндр,

момент инерции которого равен . Период колебаний такого составленного тела также надо определить экспериментально

(5.7)

Два уравнения (5.6) и (5.7) можно использовать для нахождения постоянной подвеса D и момента инерции . Этот же прием можно применить далее для определения момента инерции тела сложной формы:

(5.7)