Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 иползуна В или Е
(рис. К3.0 - К3.7) или из стержней 1, 2, 3 иползунов В и Е (рис. К3.8, КЗ.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l₁= 0,4 м, l₂= 1,2 м,
l₃= 1,4 м, l₄= 0,6 м. Положение механизма определяется углами Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0 - 4) или в табл. К3б (для рис. 5 - 9); при этом в табл. К3а и - величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 — против хода часовой стрелки и т.д.).

Рис. К3.0 Рис. К3.1

Рис. К3.2 Рис. К3.3

Рис. К3.4 Рис. К3.5

Рис. К3.6 Рис. К3.7

Рис. К3.8 Рис. К3.9

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение — от точки В к b (на рис. 5 - 9).

Таблица К3а (к рис. К3.0 — К3.4)

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
				с^-1	с^-1	точек	звена	точки	звена
						–	В, Е	DE	B	AB
					–		А, Е	AB	A	AB
						–	В, Е	AB	B	AB
					–		А, Е	DE	A	AB
						–	D, Е	AB	B	AB
					–		А, Е	AB	A	AB
						–	В, Е	DE	B	AB
					–		А, Е	DE	A	AB
						–	D, Е	AB	B	AB
					–		А, Е	DE	A	AB

Таблица К3б (к рис. К3.5 — К3.9)

Номер условия

Углы, град

Дано

Найти

с^-1

с^-2

м/с

м/с²

точек

звена

точки

звена

–

В, Е

–

А, Е

–

В, Е

–

А, Е

–

B, Е

–

D, Е

–

В, Е

–

А, Е

–

B, Е

–

D, Е

Указания. Задача К3 — на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства где А — точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ) В — точка, ускорение которой нужно определить
(о случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).

Рис. К3а Рис. К3б

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 иползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: = 60°, = 150°, = 90°, = 30°, = 30°, AD = BD, = 0,4 м,
= 1,2 м, = 1,4 м, = 2 с^-1, = 7 с^-2 (направления и - против хода часовой стрелки).

Определить:

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С₃ лежащая на пересечении перпендикуляров к и восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему точки D и С₃ и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить и , заметим, что — прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что .Тогда является равносторонним и = . В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню вращающемуся вокруг , то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и построим МЦС стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что , откуда = . Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и , то

(6)

Рис. К3в

Определяем (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно

; (7)

Вектор направлен вдоль АО₁, а — перпендикулярно АО₁; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .

Для определения воспользуемся равенством

(8)

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя с помощью построенного МЦС С₃ стержня 3, получим

и .(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения и ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим

.(10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

(11)

Так как получилось , то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. К3в.

6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что . Знак указывает, что направление противоположно
показанному на рис. К3в.

Теперь из равенства получим .

Ответ:

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К3.0 — К3.4, где В движется по окружности радиуса О₂В), то направление заранее неизвестно.

В этом случае также следует представить двумя составляющими и исходное уравнение (8) примет вид

.(13)

При этом вектор (см., например, рис. К3.0) будет направлен вдоль ВО₂, а вектор — перпендикулярно ВО₂ в любую сторону. Числовые значения , и определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть = 0 или = 0, если точка А движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле , где — радиус окружности О₂В а определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.