Решение

1.Для определений уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

или (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

.

Следовательно,

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а):

(2)

2. Скорость точки найдем по её проекциям на координатные оси:

, где

и при с

(3)

Рис. К1а

3. Аналогично найдем ускорение точки:

, где

и при с

(4)

4. Касательное ускорение точки найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим

откуда

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с касательное ускорение точки составит .

5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения и получим, что при с нормальное ускорение точки составит

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и , найдем, что при с радиус кривизны составит .

Ответ: = 1,33 см/с, = 0,88 см/с², = 0,66 см/с², = 0,58 см/с²,
= 3,05 см.

Пример К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону (s - в метрах, t - в секундах), где (рис. К1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени с.

Решение. Определяем скорость точки:

.

При с получим

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

При с получим, учтя, что R = 2м,

Тогда ускорение точки при с

Изобразим на рис. К1б векторы и учитывая знаки и , и считая положительным направление от А к М.

Рис. К1б