Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1 - 3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0 - К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 — = 2 см, = 4 см, у колеса 2 — = 6 см, = 8 см, у колеса 3 — = 12 см, = 16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где - закон вращения колеса 1, - закон движения рейки 4, - закон изменения угловой скорости колеса 2, - закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде выражено в радианах, - в сантиметрах,
- в секундах). Положительное направление для и против хода часовой стрелки, для и — вниз.

Определить в. момент времени =2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости ( — линейные, — угловые) и ускорения ( — линейные, — угловые) соответствующих точек или тел ( — скорость груза 5 и т.д.).

Указания. Задача К2 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек,
лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения

Рис. К2.0 Рис. К2.1

Рис. К2.2 Рис. К2.3

Рис. К2.4 Рис. К2.5

Рис. К2.6 Рис. К2.7

Рис. К2.8 Рис. К2.9

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами и и колесо 3 радиуса скрепленное с валом радиуса находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К.2). Рейка движется по закону .

Рис. К2

Дано: = 6 см, = 4 см, = 8 см, = 3 см, (s — в сантиметрах,
t — в секундах), А - точка обода колеса 3, = 3 с.

Определить: в момент времени

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), через u_i

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

. (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то или Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или Из этих равенств находим

(2)

Тогда для момента времени = 3 с получим

2. Определяем . Так как то при = 3 с скорость .

3. Определяем . Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при = 3 с угловое ускорение

4. Определяем . Для точки А: где численно . Тогда для момента времени = 3 с имеем

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ: ; ; ;