2015-10-13
3025
Модуль скорости точки определяется формулой:
.
Проекции ускорения точки на оси координат равны первым производным от соответствующих проекций скорости по времени или вторым производным от конечных уравнений движения по времени:
или 
где 
или 
Модуль ускорения точки определяется формулой:
.
Естественный способ задания движения точки: задать траекторию точки; выбрать начало отсчета дуг на траектории; задать положительное и отрицательное направления отсчёта дуг; задать закон, выражающий зависимость естественной координаты S от времени – S(t) – закон движения точки.
Под естественной координатой S понимают расстояние, отсчитываемое по дуге траектории в соответствующем направлении (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Скалярной скоростью точки в данный момент времени называют предел средней скалярной скорости при 
:
Скалярная скорость точки в данный момент времени равна производной от естественной координаты по времени:
Скалярным касательным ускорением точки в данный момент времени называют предел среднего скалярного касательного ускорения точки при :
|
|
|
или 
.
Скалярное касательное ускорение точки в данный момент времени равно первой производной от скалярной скорости по времени или второй производной от естественной координаты по времени.
Модуль нормального ускорения точки в данный момент времени определяется выражением:
, где ρ – радиус кривизны траектории в точке.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, нормальное – по главной нормали в сторону вогнутости траектории.
Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости.
Ускорение точки при движении по любой траектории равно сумме касательного и нормального ускорения:
.
Классификация движений точки по ускорениям:
1. 
– движение неравномерное, прямолинейное;
2. 
– движение неравномерное, криволинейное;
3. 
– движение равномерное, криволинейное;
4. 
– движение равномерное, прямолинейное.
4.1.1. Задание К -1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения
Дано: точка В движется в плоскости XOY. Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t) (табл. К -1), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки - по формулам естественного способа задания её движения.
|
|
|
По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).
В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t1=1с.
Таблица К-1
| №№ п/п | x=f1(t) | y=f2(t) | ||
| Для строк 0-2 | Для строк 3-6 | Для строк 7-9 | ||
| 6cos(πt/6) – 3 | 12sin(πt/6) | 2t2+ 2 | 4cos(πt/6) | |
| 4cos(πt/6) | -6cos(πt/3) | 8sin(πt/4) | 6cos2(πt/6) | |
| 2 – 3cos(πt/6) | -3sin2(πt/6) | (2+t)2 | 4cos(πt/3) | |
| t-4 | 9sin(πt/6) | 2t3 | 10cos(πt/6) | |
| 4-2t | 3cos(πt/3) | 2cos(πt/4) | -4cos2(πt/6) | |
| 2-t | 10sin(πt/6) | 2 - 3t2 | 12cos(πt/3) | |
| 2t | 6sin2(πt/6) | 2sin(πt/4) | -3cos(πt/6) | |
| 8sin(πt/6) – 2 | -2sin(πt/6) | (t+1)3 | -8cos(πt/3) | |
| 12sin(πt/6) | 9cos(πt/3) | 2 - t3 | 9cos(πt/6) | |
| 4 – 6sin(πt/6) | -8sin(πt/6) | 4cos(πt/4) | -6cos(πt/3) |
4.1.2. Пример решения К-1
Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:
x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.
Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:
– уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).
2. Определим положение точки на траектории в момент времени t1=1с:
x1=12sin(πt/6)=6(см), y1= 4cos(πt/6)= 3,48 (см).
3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:
, при t1=1с 
4. Аналогично найдём ускорение точки при t1=1с:
, при t1=1с 
5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:
при t1=1с 
6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле 
, подставляя известные численные значения. При t1=1с получим 
7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v2/an при t1=1с ρ1=24,93 (см).
Ответ: v1=5,56 (cм/c); a1=1,89 (cм/c2); a1τ=1,43 (cм/c2); a1n=1,24 (cм/c2); ρ1=24,93 (см).
4.2. Плоскопараллельное (плоское) движение
твердого тела
